我上次的答案中,兔子没有拐弯.以前诸君的答案中,兔子抄了近道,可是狐狸还是傻乎乎地继续沿大圆弧(优弧?)跑,这是讲不过去的.我的解答中兔子的策略可以改进.兔子先以小于 V/(1+π)的速度转圈,与狐狸位于直径两侧,这圈自然也要缩小.然后兔子沿直径向岸边跑,狐狸不得不跟着跑,不动是占不了便宜的.这样跑下去兔子是不可能先到岸边的,所以它跑到一定时候,转个角度跑.这个转角处和新的登陆点要满足两个要求:

(1) 新登陆点与转弯时狐狸所在处夹角不得大于π,否则狐狸可从反方向接近.
(2) 兔子拐了弯会多跑些路,多花些时间,但希望狐狸多花的时间更多.

我用列表法列出所有可能的转弯点与登陆点.假定大圆半径为 1,转弯前的直道(在半径上)以0.001为间隔,新登陆点的角度以0.001弧度为间隔.我把不符合(1)(2)的方案剔除,然后取出最大比值.答案是:

半径之比 = 4.38434, 转弯前距离 = 0.097, 新登陆点与转弯前半径夹角 = 0.425弧度.

采用这方案,狐狸无法应对.如采用其他方岸,或许兔子有应对之应对,但实在难以穷尽.

用现方岸,转弯后距离平方(用余絃定理)为

(0.097 + 1/4.38434)^2 + 1 - 2 (0.097 + 1/4.38434) COS(0.425) = 0.513

开平方根得 0.716. 兔子总共多跑

(0.716 + 0.097) - (1 - 1/4.38434) = 0.0411

而狐狸多跑0.425.有趣的是,兔子转弯时狐狸和新登陆点在同一半径上,但我无法证明.