| 圆上随机n点在一个半圆上的概率 |
| 送交者: nanweishui 2006年07月01日14:43:05 于 [灵机一动] 发送悄悄话 |
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此概率为: n / 2^(n-1) 假定圆周长为1. 定义 Xn = 事件: A1, A2, ..., An在一个半圆上, Sn = 包含A1, A2, ..., An最小的弧的长度, f(Sn|Xn) 为已知Xn发生, Sn的概率密度函数. 我们将证明f(Sn|Xn)= c * Sn ^ (n-2), 0 <= Sn <= 1/2, n>=2, 其中c是一个常数. n = 2时显然. 定义F为概率分布函数.
所以F(Sn+1|Xn) = f(Sn|Xn)*(2*Sn+1-Sn) 从0到Sn+1对Sn的积分. 故F(Sn+1|Xn) = d * Sn+1 ^ n, 其中d是一个常数. f(Sn+1|Xn) = F(Sn+1|Xn)对Sn+1的导数. 所以f(Sn+1|Xn) = c * Sn+1 ^ (n-1). 由于P(Sn<=1/2|Xn) = 1, 所以常数c = (n-1) * 2^(n-1). 由此可推出E[Sn|Xn] = (n-1) / 2n. 我们已知P(Xn|Xn-1) = 1 – E[Sn-1|Xn-1] = n / 2(n-1). 所以P(Xn) = P(Xn|Xn-1) * P(Xn-1|Xn-2) * ... * P(X3|X2) * P(X2|X1) = n/2(n-1) * (n-1)/2(n-2) * ... * 3/4 * 1 = n / 2^(n-1). 圆上随机三点在一个半圆上的概率为3/4. 圆上随机四点在一个半圆上的概率为1/2. 圆上随机五点在一个半圆上的概率为5/16.
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