设圆的周长为1。
(1) 2点一定落半圈。把2点所连通的弧长记作X。现在求X的均值。
2点落半圈和4点落整圈其点间的平均弧长是一样的。
4点落整圈，2点间平均弧长为1/4。而X由2点构成，所以
E(X) = 1/4

P(3) = 3点落半圈机率。
在X=x的条件下，第3点落半圈的机率为1-x.代入均值
P(3) = 1- 1/4 = 3/4

(2)在3点落半圈的条件下，把3点所连通的弧长记作Y。现在求Y的均值。
3点落半圈和6点落整圈其点间的平均弧长是一样的。
6点落整圈，2点间平均弧长为1/6。而Y由3点构成，所以
E(Y) = 2(1/6)= 1/3

P(4) = 4点落半圈机率。
在Y=y的条件下，第4点落半圈的机率为1-y.代入均值,考虑条件概率
P(4) = (1- 1/3)(3/4) = 1/2

(3 )在4点落半圈的条件下，把4点所连通的弧长记作Z。现在求Z的均值。
4点落半圈和8点落整圈其点间的平均弧长是一样的。
8点落整圈，2点间平均弧长为1/8。而Z由4点构成，所以
E(Z) = 3(1/8)= 3/8

P(5) = 5点落半圈机率。
在Z=z的条件下，第 5点落半圈的机率为 1- z.代入均值,考虑条件概率
P(5) = (1- 3/8)(1/2) = 5/16

看看用类似的方法能不能做5点落半球问题。

设球的表面积为1。
(1) 3点一定落半 球。把 3点所构成的球面三角形面积记作X。现在求X的均值。
3点落半球和6点落整球的密度分布是一样的。
6点落整球， 平均一个半球一个三角形。每个三角形的边和另一三角形的
点构成一个三角形，这样共有8个三角形。在平均情况下，它们都相等。成，所以
E(X) = 1/8

P(4) = 4点落半球的机率。
在X=x的条件下，第4点落半圈的机率为1-x.代入均值
P(4) = 1- 1/8 = 7/8

(2) 在4点落半球的条件下，把4点所构成的球面四边形面积记作Y。现在求Y的均值。
4点落半球和8点落整球的密度分布是一样的。
8点落整球， 平均一个半球一个四边形。每个四边形的角点和另一四边形的
角点连起来，这样共有 6个四边三形。在平均情况下，它们都相等。 所以
E(Y) = 1/6

P(5) = 5点落半球的机率。
在Y=y的条件下，第 5点落半球的机率为1-y.代入均值,考虑条件概率
P(5) = (1- 1/6)(7/8) = (5/6)(7/8) = 35/48

请各位大侠指点