答案要有点趣味还有真点难. 用容斥原理做自然是康庄大道, 我下面用数学归纳法来做, 算是响应PISTONS的建议吧.

用P(n) 表示n个酒鬼回家, 没有一个酒鬼能和自己老婆睡觉的概率. 第一家放下的酒鬼有(n-1)/n的概率没和自己老婆睡觉. 此时不妨假设第一家放下是酒鬼2.

对于剩下的n-1个酒鬼, 可以假想酒鬼1的住址是第二家, 那么这n-1个酒鬼没有一个能和自己老婆睡觉的概率为P(n-1). 这种情形下酒鬼1一定不在第二家.

如果第二家放下的酒鬼就是酒鬼1( 发生的概率为1/(n-1) ), 那么剩下的n-2个酒鬼没有一个能和自己老婆睡觉的概率为P(n-2).

所以P(n) = (n-1)/n * [ P(n-1) + 1/(n-1) * P(n-2) ] = (n-1)/n * P(n-1) + 1/n * P(n-2).

定义Q(n) = P(n) – P(n-1). 那么Q(n) = -(1/n) * Q(n-1).
P(1) = 0, P(2) = 1/2, 故Q(2) = 1/2, 所以Q(n) = (-1)^n / n!, n = 1, 2, ...

P(n) = P(1) + Q(2) + Q(3) + ... + Q(n) = Sum( (-1)^n / n! )

大家知道exp(x) = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ...
所以P(n) 近似于exp(-1) = 1/e.