人造卫星轨道参数问题

某地球资源探测组织发射了一颗人造地球卫星。卫星在东经120度
的赤道上空准确入轨。入轨时的初始参数给定如下(米，公斤，秒制)：

高度 H = 207909.27
速度 V = 7.8X10^3
速度方向矢量与地心到星心连线矢量(从地心指到星心)的夹角 A = 89.3度
也就是说，仰角为0.7度。
速度方向矢量在地面的投影(东北方向)与赤道夹角 B = 60度。

假设(米，公斤，秒制)：

地球质量 M = 6X10^24
地球半径 R = 6.37X10^6
万有引力常数 G = 6.67X10^(-11)

求：

(1)卫星近地点和远地点的高度。
(2)卫星的周期。
(3)卫星到达远地点时一定是地球某一点的上空，求这点的纬度。

解：

设地心到星心的距离为r, 地心到星心连线滑过得角度为u。根据开普乐定律，
机械能守恒定律，几何关系列出如下方程：

rVsin(A) = C (常数) (1)
0.5V^2 - GM/r = K (常数) (2)
rdu/ds = sin(A) (3)
ds^2 = dr^2 + r^2du^2 (4)

用这4个方程，做联立推导，大约需要一页纸

[此处删去376个字。跟贾平凹或金瓶梅作者学的。其实，我
打那些公式太费劲。看来搞体育的玩数理化就是不行]

并令

P = C^2/(GM)
e^ = 2KP^2/C^2 + 1

可以得到如下微分方程：

du = - d[(P/r - 1)/e]/[ 1 - [(P/r - 1)/e]^2 ]^0.5 (5)

积分后，得

r = P/[1 + ecos(u)] (6)

利用初始条件，得

P = 6.576927 * 10^6
e = 0.012217

轨道为椭圆，半长轴 a = 6.658271*10^6, 对应 u = 180度
半短轴 b = 6.497546 *10^6, 对应 u = 0度

近地点高度： b - R
远地点高度： a - R

周期 T = pi*ab/(0.5C) = 5298.35 S = 88.3 Min = 1.47176 H

根据初始 r0 = H+R, 代入 (6) 得 u = 90.7度。卫星入轨后先到达最远点，
后到最近点(仰角0.7度)。这说明卫星入轨后，滑过89.3度达到远地点。这时
卫星地面投影到卫星轨道平面与赤道平面的交线的距离是 R*sin(89.3).
卫星地面投影到赤道平面的距离是 R*sin(89.3)sin(60)

设卫星地面投影纬度为w

R*sin(w) = R*sin(89.3)sin(60)

w = 59.99 度