月球卫星轨道参数问题

假设(米，公斤，秒制)：

月球质量 M = 7.35x10^22
月球半径 R = 1.738x10^6
万有引力常数 G = 6.672x10^(-11)

某人造月球卫星的预先设计轨道参数是：
远月点，卫星重心到月球重心的距离是1.818x10^6。
近月点，卫星重心到月球重心的距离是1.768x10^6。

卫星在远月点上空准确入轨。

求：
(1) 入轨时的速度。
(2) 卫星近月点的速度。
(3) 卫星的周期。

解：

设月心到星心的距离为r, 月心到星心连线滑过得角度为u。根据开普乐定律，
机械能守恒定律，几何关系列出如下方程：

rVsin(A) = C (常数) (1)
0.5V^2 - GM/r = K (常数) (2)
rdu/ds = sin(A) (3)
ds^2 = dr^2 + r^2du^2 (4)

用这4个方程，做联立推导，解微分方程

并令

P = C^2/(GM) (5)
e^2 = 2KP^2/C^2 + 1 (6)

得到轨道方程

r = P/[1 + ecos(u)] (7)

设：近月点，月心到星心的距离为r1。
设：远月点，月心到星心的距离为r2。

由(7) 得
r1r2 = P^2/(1-e^2) (8)
代入(6)有
r1r2 = -C^2/(2K) = r2^2*v2^2/(2GM/r2 - v2^2) (9)
其中v2是卫星远月点速度。
将(9)化简得

v2^2 = 2GMr1/(r2(r1+r2))
v2 = 1.63089x10^3

v1 = r2v2/r1 = 1.67702x10^3

轨道半长轴 a = ( r1+r2 )/2 = 1.793x10^6
轨道半长轴 b = sqrt( a^2 - ((r2-r1)/2)^2) = 1.79283x10^6

周期 T = pi*ab/(0.5C) = 6812.095 S = 113.53 Min
入轨时的速度 v2 = 1.63089x10^3
卫星近月点的速度 v1 = 1.67702x10^3