一质点在一二维正方盒子内自由运动，不计重力与空气的作用，与盒子内壁的碰撞为完全弹性。问题：对任意初始位置与速度，质点能否在有限行程内回复到初始位置与速度？（从而形成周期运动）

解：

一个二维正方形的盒子，其边长为1。一质点在盒内任何一点起始做
直线运动。现在在起点沿运动速度相反的方向做延长线。延长线一定
交与正方形某边的一点。把这点称作A点。如果质点能够再回A点且速度
方向与延长线成镜像反射关系，那么质点就回复到初始位置与速度。

下面做个模型，把盒子放在坐标的第一象限。一边与Y轴重合，一边与
X轴重合。A点在与Y轴重合的边上，其坐标为(0，c)。起始速度矢量与
与Y轴的夹角为u,小于90度。

现在假设盒子的上边的延长线(y=1)都能反射，下边的延长线(y=0)也都
能反射。而盒子的右边不能反射，能让质点不变速地通过。

假设质点从A点出发，向上碰到上延长线，然后反射向下，碰到下延长线
再向上。如果质点碰到下延长线后经过B点，其坐标为(2n,c)，那么，质点
就回复到初始位置与速度。n是整数。可以把上下延长线之间的每个边长
为1的正方形看成是折叠连环画的每一页。折叠后，(2n,c)与(0，c)重合。

这么满足如下方程：

(1-c)tg(u) + [tg(u) + tg(u) + ...] + tg(u)c = 2n (1)
其中[]中有奇数项。整理后
tg(u)2m = 2n (2)
式中m是整数.

tg(u) = n/m (3)

(3)说明，只有tg(u)是有理数时，质点才能在有限行程内回复到初始位置
与速度。因为速度是任意的，不能保证tg(u)是有理数，所以对任意初始
位置与速度，质点不能在有限行程内回复到初始位置与速度。