先抄题目

Given n numbers, a_1, a_2, ..., a_n, each of which is 1 or -1. Assume that
a_1a_2a_3a_4 + a_2a_3a_4a_5 + ... + a_{n-1}a_na_1a_2 + a_na_1a_2a_3 = 0.
Prove that n is a multiple of 4 (i.e., 4 divides n).

方程左边共 N 项, 每项为+1-1. 要使其相加为零, N 须为偶数. 令 N = 2K.

K 项 +1 的, 每一项 +1-1 都出现偶数次. 所以 K 项一起, +1-1 也都出现偶数次.

K 项 -1 的, +1-1 出现的次数为31或13, 即奇数. 如 K 为奇数, K 项一起, +1-1 也都出现奇数次.

2K 项一起考虑, 如 K 为奇数, +1-1 均共出现奇数次. 但两者出现次数都必须是 4 的倍数, 故不可能. 所以 K 为偶数, N 被 4 整除.

结论可延伸到任何相邻偶数项相乘.