有一对刚生的小兔子，两个月后每月生一对小兔子。所生的小兔子也是两个月后开始每月生一对小兔子。问N个月后有几对兔子？

            F(0) = 1, F(1) = 1, F(2) =2, ...

            先推导F(n)的递推公式

            F(n) = F(n-1) + F(n-2) , n > 1

我们把F(n-2)分为两部分a和b，a为当月出生的，其他为b。a要到第n月才能生育，b下月都可生育。

            F(n-2) = a + b, F(n-1) =a + 2b, F(n) = 2a + 3b

我们有F(n) = F(n-1) + F(n-2) , n > 1。

            f(x) = Sum(F(n)xⁿ) n=0,1,2,...

          = 1 + x + Sum{F(n-1))xⁿ + F(n-2))xⁿ }, n=2,3,4,...

          = 1 + x + x{f(x) - 1} + x²f(x)

经整理得

            f(x){1 - x - x²} = 1

          f(x) =1/ {1 - x - x²} = -1 / {(x + x_-)(x + x₊)} = 1 /{(1+ x/x_-)(1+ x/x₊)}

这儿  x₊ = (1 + SQRT(5))/2 , x_-  = (1 - SQRT(5))/2

            f(x) = -( x_-/ SQRT(5))/(1+ x/ x₊) + (x₊/ SQRT(5) )(1+ x/ x_-)

两项均展开后xⁿ的系数即F(n)。第一项的系数正负交替，第二项恒正。当n很大时，第一项可忽略不计。