考验你的逻辑。这是百度上应用数学分析定理证明另一个定理。

送交者: zhf 2018年11月17日14:32:25 于 [灵机一动] 发送悄悄话

考验你的逻辑。这是百度上应用数学分析定理证明另一个定理。 送交者: zhf 2018年11月16日14:47:21 于 [茗香茶语] 发送悄悄话 我认为证明有缺陷，看看谁能找出来。 ================================= 利用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数一致连续。 已知：f(x)在闭区间[a,b]上有定义，且f(x)连续。求证：f(x)在闭区间[a,b]上一致连续。 证明： ∵f(x)在[a,b]上连续 ∴对任意x0∈[a,b]，   上式中的δ0(ε,x0)表示δ是ε和x0的函数，而    即意味着    。 固定ε，只让x0在区间[a,b]上变化，则一般来说δ0也要发生变化。当x0取遍[a,b]上的所有实数时，[a,b]将被所有x0的邻域    构成的集合S覆盖，或者说S是[a,b]的一个无限开覆盖。 由有限覆盖定理得S中有有限个开区间能覆盖住[a,b]，不妨设这有限个开区间构成的集合为    。 令    （∵i为有限正整数，∴δi为有限个，在这有限个δi之中一定有最小值），这个δ不再与x0有关，是因为无论对[a,b]上的哪个数xi，当    时，总有    。下证对任意x'和x''∈[a,b]，当|x'-x''|<δ时，总有|f(x')-f(x'')|<ε。 事实上，由连续的定义， 那么，当 时，有 显然，ε是任意正数，那么2ε也是任意正数，也相应地存在正数2δ。这就证明了f(x)在[a,b]上一致连续。

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