趣味的数学-枚举组合数学

【按】

以下是本人解答有关组合数学练习题后的一些心得。望内行人士不吝赐教，大力“攻击【attack]”。

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一门学科/科学只有从定性分析阶段进入定量分析阶段，这门学科/科学才算是进入成熟的阶段。

定量分析，当然少不了号称“科学女王”的数学的“入侵”。

而数学这门古老的科学，也只有进入人们的日常生活，才能焕发出她美丽的青春。

组合数学【combinatorics】也是如此。

组合数学在资本主义发达的商业行为中得到大力的发展；又由于计算机科学的兴起，与计算机科学相互促进而获到了显著的进展和提高。

现时阶段，组合数学在基因分析、药物分子设计、药效检验等生物化学和医学领域有着广泛的应用，统计学和概率论领域缺少不了它。如今时髦的“大数据”和人工智能研究更是组合数学大显身手的地方。目前，社会科学领域也渐渐地出现了它的身影。

枚举组合数学【enumerative combinatorics】是组合数学中最古老的主要分支。顾名思义，它应用于事物的计数，例如计算事物的排列和组合的数量。

枚举组合数学的几个主要恒等式：

--Pascal's rule：由著名法国数学家Blaise Pascal【1623-1662】提出，是枚举组合数学中的一个非常强有力的恒等式。其他许多恒等式都由它而来。

见：

https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_rule

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%95%E6%96%AF%E5%8D%A1%E6%B3%95%E5%89%87

--Zhu【朱世杰】-Vandermonde's identity。它原名Vandermonde's identity，被认为是由法国数学家Alexandre-Théophile Vandermonde【1735-1796】首先提出的。

但据英国科学史家李约瑟【Joseph Needham，1900-1995】发现，其实中国元代数学家朱世杰【1249-1314】早于13世纪研究“垛积法【高阶等差级数求和】”时就已经发现了类似的恒等式【尽管研究中国数学史的中国学者早就知道朱世杰的名字，但朱世杰在数学上的地位却没有得到应有的评价】。故现在的教科书上加上了朱世杰的名字。

见：

https://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde%27s_identity

其他枚举组合数学的主要工具还有：

--二项式系数的性质；

--二项式系数“上限指标取负”的性质；

--排列和组合的性质定理；

--Erdos-Szekeres定理；

等等。

本人发现，写得最好的关于枚举组合数学的入门书，是被称为“软件工程师-码农的圣经”的前斯坦福大学退休教授Donald E. Knuth【1938-】写的The Art of Computer Programming第一卷的有关段落。

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相关链接：

Combinatorics:

https://en.wikipedia.org/wiki/Combinatorics

Enumerative combinatorics:

https://en.wikipedia.org/wiki/Enumerative_combinatorics