用模为2证明“14个4次方”较“除三法”简单些

题目即是证明以下方程是否成立
a*6^4+b*5^4+c*4^4+d*3^4+e*2^4+f*1^4 = 1599 【1】

1】利用同余数解这题，只是解决一个必要的条件：若等式两边的同余数相等，还需证明等式两边的数量是否相等，才能证明其充分性。

2】因此，理论上，这题所取的同余模数，可在2至14之间的13个整数中任取。选择的标准，我认为选的模数应该是可以简化原方程的。

例如，

选模数为2，可删去2^4、4^4和6^4三项，仅留下其余三项：5^4、3^4和1^4。另外，还可以删去5^4、3^4和1^4的偶数倍数项，亦即删去b、d和f为偶数时的情况。
因为删去以上这些项，对方程【1】的同余性没有影响。

故【1】变换为
b*5^4+d*3^4+f*1^4 = 1599≡1 (mod 2) 【2】

而且【2】中的
b=1; d=1,3,5,7,9,11,13; f=1,3,5,7,9,11,13.
把【2】移项，成为
b*5^4+d*3^4 = 1599-f*1^4≡0 (mod 2) 【3】
即左右两边各有1x7=7种情况。
容易验证这7种情况都不能使得【1】成立！

====
若选模数为3或9，可删去3^4和6^4两项，以及它们的3的倍数项。

由于在1599中，存在1个6^4，2个5^4，6个4^4，14个3^4、2^4或1^4，计算后可知，取模数为2为最简单。