用数学归纳法证明二次项系数(n,1),(n,2),...,(n,n-1)全都是偶数的充要条件是n为2的方幂。

充分性：

由范德蒙恒等式

(n+m,k)=Sum(i=0,k)[(n,i)(m,k-i)]

得

(2n,k)=Sum(i=0,k)[(n,i)(n,k-i)]          (1)

假定，n=2^m时，系数(n,1),(n,2),...,(n,n-1)全都是偶数。由(1)

(2^(m+1),k)=Sum(i=0,k)[(n,i)(n,k-i)]  

不难看出，当0<k<2^m时，右端是偶数。

m=1时，(2,1)是偶数。这就证明了充分性。

必要性：

(2^m+k, k)=(2^m+1)(2^m+2)…(2^m+k)/[(1)(2)…(k)]       (2)

式中 0<k<2^m

因k中2因子的个数与2^m+k中2因子的个数相等，(2^m+k, k)不含2因子。(2^m+k, k)不是偶数。这就证明了必要性。