設萬維讀者為首頁 廣告服務 聯繫我們 關於萬維
簡體 繁體 手機版
分類廣告
版主:
萬維讀者網 > 靈機一動 > 帖子
關於聰明的兔子
送交者: WhyNot 2006年04月28日15:29:31 於 [靈機一動] 發送悄悄話

看了woodknife4321的解答,總有些疑慮:這個答案是否是正確答案?

無疑,woodknife4321的答案即使不是正確答案也比零加一中的更接近。

根據woodknife4321的分析,我們知道

Integral(dr/v*(1/cos(b)-tan(b)*a/r))-Pi*(na)/(nv)=0, (1)

積分區間為從a到nv。其中速度方向和半徑方向的夾角b是r的函數b=f(r)。在任一點,當
sin(b)=a/r (2)

時,被積函數1//v*(1/cos(b)-tan(b)*a/r)有極小值。據此woodknife4321得到n=4.6的答案。

事實上(1)式定義了一個泛函:

n=F(b)=F(f(r)) (3)

我們的問題就是:找到一個函數b=f1(r)是的n取最(極)大值。
woodknife4321的答案就是用(2)式定義的函數b=f(r)=asin(a/r)帶入(1)的結果。直觀來看,在積分值為常數時,被積函數越小,積分區間就越長(意味着n越大)。但不能據此證明讓被積函數在每一點都取極小值得到的n就是最(極)大值。

另外woodknife4321的解答並不是一條曲線,實際上是一條直線,畫下圖就知道了:兔子達到小圓a上與狐狸成一直線且分別在圓心兩側時,即沿切線方向向岸邊前進。n由下式確定:
pi + acos(1/n)= sqrt(n*n - 1). (4)

其解為n約等於4.6034。

按照這個思路,考慮這樣一條路線:前面與woodknife4321的解答相同,只是當兔子達到r=sqrt(2)a時轉向沿垂直於半徑方向前進,直至岸邊。此時n由下式確定:
pi + acos(1/n) + acos(sqrt(2)/n) = 1 + sqrt(n*n - 2). (5)

解之得n約等於4.9991。雖然比woodknife4321的解更接近,但顯然遠不是真解:兔子可多做幾次類似的轉向,一定可以得到更大的n值。極限情況就是兔子沿小圓a轉圈,此時n可以任意大,但兔子永遠到不了岸邊。是否存在一個極限n值使兔子可以到達岸邊?如果這個極限存在,
它是不是真解?

期待着零加一中或哪位大俠給我們釋疑。

0%(0)
0%(0)
標 題 (必選項):
內 容 (選填項):
實用資訊
回國機票$360起 | 商務艙省$200 | 全球最佳航空公司出爐:海航獲五星
海外華人福利!在線看陳建斌《三叉戟》熱血歸回 豪情築夢 高清免費看 無地區限制
一周點擊熱帖 更多>>
一周回復熱帖