看了woodknife4321的解答,總有些疑慮:這個答案是否是正確答案?
無疑,woodknife4321的答案即使不是正確答案也比零加一中的更接近。
根據woodknife4321的分析,我們知道
Integral(dr/v*(1/cos(b)-tan(b)*a/r))-Pi*(na)/(nv)=0, (1)
積分區間為從a到nv。其中速度方向和半徑方向的夾角b是r的函數b=f(r)。在任一點,當
sin(b)=a/r (2)
時,被積函數1//v*(1/cos(b)-tan(b)*a/r)有極小值。據此woodknife4321得到n=4.6的答案。
事實上(1)式定義了一個泛函:
n=F(b)=F(f(r)) (3)
我們的問題就是:找到一個函數b=f1(r)是的n取最(極)大值。
woodknife4321的答案就是用(2)式定義的函數b=f(r)=asin(a/r)帶入(1)的結果。直觀來看,在積分值為常數時,被積函數越小,積分區間就越長(意味着n越大)。但不能據此證明讓被積函數在每一點都取極小值得到的n就是最(極)大值。另外woodknife4321的解答並不是一條曲線,實際上是一條直線,畫下圖就知道了:兔子達到小圓a上與狐狸成一直線且分別在圓心兩側時,即沿切線方向向岸邊前進。n由下式確定:
pi + acos(1/n)= sqrt(n*n - 1). (4)
其解為n約等於4.6034。
按照這個思路,考慮這樣一條路線:前面與woodknife4321的解答相同,只是當兔子達到r=sqrt(2)a時轉向沿垂直於半徑方向前進,直至岸邊。此時n由下式確定:
pi + acos(1/n) + acos(sqrt(2)/n) = 1 + sqrt(n*n - 2). (5)
解之得n約等於4.9991。雖然比woodknife4321的解更接近,但顯然遠不是真解:兔子可多做幾次類似的轉向,一定可以得到更大的n值。極限情況就是兔子沿小圓a轉圈,此時n可以任意大,但兔子永遠到不了岸邊。是否存在一個極限n值使兔子可以到達岸邊?如果這個極限存在,
它是不是真解?
期待着零加一中或哪位大俠給我們釋疑。