先把题目重复一遍.100个球放五个筐,有几种放法.假定

(1) 球和筐均可辨认(即编号).
(2) 球可辨认筐不可.
(3) 筐可辨认球不可.
(4) 球和筐均不可辨认.
假如每个筐至少有一个球,重复(1)-(4).

为方便计,第一部分为A,第二部分为B.(A1)很容易,每个球有五种放法,且各自独立,故5^100.(A3)需要灵机一动.把五个筐看成一条线上的四个隔板,筐里的球就相当于隔板间的球(包括边界).因为筐可辨认,所以隔板位置不能变换,所以问题就成了从104个位置中挑四个放隔板,即C(104,4).(B3)思路一模一样,等于把95个球放进5个筐,所以是C(99,4).

一般会以为A比B容易,实际并非如此, (A3)和(B3),(A4)和(B4)难度是一样的.下面可以看到,其实(B2)比(A2)要容易.我们先做(B1).设各筐球数为IJKLM,五个数均大于零,且相加得100.对于这组数,总共有100!/(I!J!K!L!M!)种放法,然后将五个数在100这限制下独立求和.现在我们将此数乘X^100=X^(I+J+L+M+N)然后取消限制求和.因为我们可以跟踪X,所以只要最后把X^100的系数取出即可.取消限制后求和完全独立,对I从1到无穷求和得到EXP(X)-1. 所以结果为100!*(EXP(X)-1)^5,我们称它为生存函数.展开后为
100! (E^5X - 5E^4X + 10 E^3X - 10 E^2X + 5 E^X - 1)
取X^100的系数即
5^100 - 5*4^100 + 10*3^100 - 10*2^100 + 5
我已于前两天给出.因为(B1)没有空筐,所以每换一次筐就是一个新的组合..(B2)和(B1)完全一样,只要除以5!消除筐的置换即可.(A2)有空筐,所以在两个或更多空筐的情况除以5!就会少数.我们要把(B2)改为0,1,2,3,4个空筐的情况解出,然后相加,即难为水的答案,如果不是我的同行,能做到这一步确实极不简单.(A1)也可用生存函数解,只要从0到无穷求和即可,结果为 100! EXP(5X), 取X^100即5^100.(A3)和(B3) 亦可用此法解,只是杀鸡用了牛刀.

(A4)和(B4)大概只能用生存函数解了,大家不妨先试试,我过几天再公布.