記得念大學時,有一份<上海科技報>,曾經有這樣一題,將12均勻分成幾份整數後,各部分相乘乘積最大.題目不難,試了幾下後知道,分成三份後,4^3=64.也可分成六份,2^6=64.直到這一步,還看不出和程咬金有何瓜葛,似乎是譁眾取寵了.當時已學過極值,再想了一下,如果是別的數N,同樣的問題會是什麼答案.原來普遍解是E,極值為E^(N/E).這時才開始對這位“程咬金”先生刮目相看,這個連小學生都會做的題,竟會扯出大名鼎鼎的超越數E=2.71828...

小時候讀<十萬個為什麼>,知道了超越數,對π當然十分尊敬,對這自然對數的底(當時還不懂對數),不過是敬而遠之.以後學了極限,知道這E是如何出來的,但還是產生不了象對PI那樣的崇敬心情,覺得這只是數學家手上的一件高級玩具而已.直到見到這道題,才算領略到一點這傢伙的厲害.以後學了微分方程,才知道E幾乎是無處不在,電路方程,電波傳送,簡諧振子,只要和齊次方程沾邊,E就逃不了干係.相比之下,老朋友π倒顯得有點自嘆不如了.大部分情況下,E出現在連續系統中,但在離散系統中也會出現,上面提到的“程咬金”即為一例.以後書念多了,也做了些研究工作,發現這樣的例子真還有不少.

前些日子的(N)球(M)筐題目,如果球可辨認筐不可辨認,用常規方法解幾乎不可能,或許就是不可能.但用生成函數來解確實輕而易舉.令人意想不到的是,這個土的掉渣的題目,最後竟也和陽春白雪E分不開.如要求每筐至少有一球,答案竟然是(E^X-1)^M中的X^N的係數乘以N!.這個例子稱之為“程咬金”似乎也不為過.

如果我們有一長鏈,上面均勻地分布着原子.現在假定每兩個相鄰原子能形成分子,而且形成後不再分開,問最後沒形成分子的原子有多少.答案是E^(-2)此問題有一等價表述,在空的一維晶格上隨機放粒子,放粒子的格點的近鄰不許再放,問最後平均密度是多少.答案是(1-E^-2)/2.現考慮2XN的梯子,用同樣的條件和方法放粒子,問最後密度是多少.這問題由本人與博士後指導教授解出,答案是(1-1/(2E))/2.這些完全是正整數的問題,最後還是逃不出E的掌心.不信上帝的人,此時恐怕也會有點懷疑這是否是他老人家早就規劃好的.

最後回到最近的酒鬼問題,或一般稱為帽子問題.30個人30頂帽子,每個人都戴錯的幾率是多少.此題是更一般的“包含--排斥”問題(Inclusion-Exclusion)的一個特例.設共有N個元素,符合條件a的有N(a)個,符合條件b的有N(b)個,…,符合條件(a,b)的有N(a,b)個,…問不符合條件a,b,c,…的元素有多少.答案是

N - {N(a) + N(b) + …} + {N(a,b) + N(a,c) +…} - {N(a,b,c) + …} + …

其意義是第一次減的太多,第二次補上又加回太多,然後再減,直至正好.現在的條件a,b,c,…就是每人都戴自己的帽子

N! - C(N,1)(N-1)! + C(N,2)(N-2)! - … + (-1)^N C(N,N)

= N! {1 - 1/1! + 1/(2!) - … + (-1)^N/N!}

= round(N!/E).

PISTON要求難為水和我的答案要有點趣味,不知是否指的是這番畫蛇添足的解釋.

這些以正整數開頭的題目以超越數E告終,其實並非偶然.排列組合問題往往和階乘有聯繫,大家一定知道Sterling公式 N! ~= NlnN-N,只是其中的奧妙並非我等之輩三言兩語能講清楚.