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炙肉片的策略
天邊的星星先生在戶外有個炙肉架,正好能容納2片炙肉.他的妻子圓夢和女兒醜女郎都飢腸轆轆,急不可耐.問怎樣才能在最短時間內炙完三片肉.
天邊的星星先生:"瞧,炙一片肉的兩面需要20分鐘,因為每一面需要10分鐘.我可以同時炙兩片,所以花20分鐘就可以炙完兩片.再花20分鐘炙第三片,全部炙完需要40分鐘."
醜女郎:"你可以更快些,爸爸.我剛算出你可以節省10分鐘."
啊哈!醜女郎小姐想出了什麼妙主意?
為了說明醜女郎的解法,設肉片為A,B,C.每片肉的兩面記為1,2.第一個10分鐘炙烤A1,和B1.把B肉片先放到一邊.再花10分鐘炙烤A2和C1.此時肉片A可以炙完.再花10分鐘炙烤B2和C2,僅花30分鐘就炙完了三片肉,對嗎?
這個簡單的組合問題,屬於現代數學中稱之為運籌學的分枝.這門學科奇妙地向我們揭示了一個事實:如果有一系列操作,並希望再最短時間內完成,統籌安排這些操作的最佳方法並非馬上就能一眼看出.初看是最佳的方法,實際上大有改進的餘地.在上述問題中,關鍵在於炙完肉片的第一面後並不一定馬上去炙其反面.
提出諸如此類的簡單問題,可以採用多種方式.例如,你可以改變炙肉架所能容納肉片的數目,或改變待炙肉片的數目,或兩者都加以改變.另一種生成問題的方式是考慮物體不止有兩個面,並且需要以某種方式把所有的面都予以"完成".例如,某人接到一個任務,把 n 個立方體的每一面都塗抹上紅色油漆,但每個步驟只能夠做到把 k 個立方體的頂面塗色.
今天,運籌學用於解決事物處理,工業,軍事戰略等等許多領域的實際問題.即使是像炙肉片這樣簡單的問題也是有意義的.為了說明這一點,請考慮下列一些變相問題:
天邊的星星先生和夫人有三件家務事要辦.
1.用真空吸塵器清潔一層樓.只有一個真空吸塵器,需要時間30分鐘.
2.用割草機修整草地.只用一台割草機,需要時間30分鐘.
3.餵嬰兒腦賊入睡,需要時間30分鐘.
他們應該怎樣安排這些家務,以求在最短時間內全部完成呢?你看出這個問題與炙肉片問題是同構的嗎?假設天邊的星星先生和夫人同時進行操作,一般人開始往往以為做完這些家務需要60分鐘.但是如果一件家務(譬如說用真空吸塵器做清潔工作)分為兩個階段,第二階段延後進行(像炙肉片問題那樣),那麼三件家務可以在3/4的時間內即45分鐘內完成.
下面有一個關於準備三片熱塗奶油的烤麵包問題.這個運籌學問題比較困難.烤麵包架是老式的,兩邊各有一扇翼門,可以同時容納兩片麵包,但是只能單面烘烤.如果要烤雙面,需要打開翼門,把麵包片翻過身來.
將一片麵包放入烤麵包架需要時間3秒鐘,取出來也需要3秒鐘,將麵包片在烤麵包架內翻身又需要3秒鐘.這些都需要雙手操作,即不能同時進行放,取或把兩片麵包同時翻身,也不能在放入一片麵包,將其翻身或取出的同時把另一片塗抹上奶油.單面烘烤一片麵包需要30秒鐘,把一片麵包塗抹上奶油需要12秒鐘.
每片麵包僅限於單面塗抹上奶油.未經烘烤不得事先在任何一面塗抹上奶油.單面已經烤過的和塗抹上奶油的麵包片可以重新放入烤麵包加內繼續烘烤其另一面.如果烤麵包架一開始就是熱的,試問雙面烘烤三片麵包丙塗抹上奶油最少需要多少時間?
在兩分鐘內完成上述工作並不太難.然而,如果你領悟到:一片麵包在單面烘烤尚未結束的情況下,也可以取出,以後再放回烤麵包架內繼續烘烤這一面,那麼全部烘烤時間就可以縮減至111秒鐘.使你想到這一點,統籌安排這些操作使效率達到最高也遠非是一件易事.在這方面,尚有無數比此更為複雜的實際問題,需要藉助於與計算機和現代圖論有關的高度複雜的數學手段.
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