高速转动陀螺进动的力学解释

假设陀螺体是很薄的圆盘，半径为R，质量为m,质地均匀。中轴
细长质地坚硬，但质量忽略不计。中轴底端和平面接触的一点
为O点。O点到圆盘的距离是a。中轴总长2a.假设3维坐标系的原点
与O点重合，中轴底端接触平面与XY平面重合。

假设陀螺以w的角速度逆时针自转。我们期待陀螺中轴与Z轴重合。
但由于某种随机原因，在t=0时，陀螺中轴与Z轴有一个很小的角度
u.这样，陀螺圆盘就不是水平的了。假设陀螺圆盘的最低点A(6点)
在XY平面上的投影恰好与-Y轴重合。陀螺圆盘的最高点B(12点)在
XY平面上的投影与+Y轴重合.计时从3点开始。

设圆盘的转动惯量为I，那么，其动量矩是 Iw.Iw 是矢量其方向与
陀螺中轴重合。如果外加力矩为M(假设常数)，则有

M = d(Iw)/dt (1)

如果让矢量Iw的尾端与O重合，那么，(1)就给出了矢量Iw的箭头端
的线速度。

矢量Iw翻转的角速度是

q = M/(Iw) (2)

这也是陀螺中轴翻转的角速度。

在陀螺圆盘3点处取一质点dm
在t=t时,dm围绕重心的翻转线速度是

v(t) = 2qRsin(wt) (3)

由于自转角速度的存在，dm受到一种类似表面径力的力。其加速度为

a(t)= 2qRwcos(wt) (4)

这说明，wt 从 -90度到+90度，质点dm受到向上的加速度
wt 从 +90度到+270度，质点dm受到向下的加速度

也说明，wt 从 -90度到+90度，质点dm给系统向下的力
wt 从 +90度到+270度，质点dm给系统向上的力。

这样，陀螺向+X轴翻转，形成进动