一質點在一二維正方盒子內自由運動，不計重力與空氣的作用，與盒子內壁的碰撞為完全彈性。問題：對任意初始位置與速度，質點能否在有限行程內回復到初始位置與速度？（從而形成周期運動）

解：

一個二維正方形的盒子，其邊長為1。一質點在盒內任何一點起始做
直線運動。現在在起點沿運動速度相反的方向做延長線。延長線一定
交與正方形某邊的一點。把這點稱作A點。如果質點能夠再回A點且速度
方向與延長線成鏡像反射關係，那麼質點就回復到初始位置與速度。

下面做個模型，把盒子放在坐標的第一象限。一邊與Y軸重合，一邊與
X軸重合。A點在與Y軸重合的邊上，其坐標為(0，c)。起始速度矢量與
與Y軸的夾角為u,小於90度。

現在假設盒子的上邊的延長線(y=1)都能反射，下邊的延長線(y=0)也都
能反射。而盒子的右邊不能反射，能讓質點不變速地通過。

假設質點從A點出發，向上碰到上延長線，然後反射向下，碰到下延長線
再向上。如果質點碰到下延長線後經過B點，其坐標為(2n,c)，那麼，質點
就回復到初始位置與速度。n是整數。可以把上下延長線之間的每個邊長
為1的正方形看成是摺疊連環畫的每一頁。摺疊後，(2n,c)與(0，c)重合。

這麼滿足如下方程：

(1-c)tg(u) + [tg(u) + tg(u) + ...] + tg(u)c = 2n (1)
其中[]中有奇數項。整理後
tg(u)2m = 2n (2)
式中m是整數.

tg(u) = n/m (3)

(3)說明，只有tg(u)是有理數時，質點才能在有限行程內回復到初始位置
與速度。因為速度是任意的，不能保證tg(u)是有理數，所以對任意初始
位置與速度，質點不能在有限行程內回復到初始位置與速度。