假设有理数的乘法交换律是成立的。怎样证明无理数的乘法交换律？

证明：

定义无理数为无限不循环小数。承认无理数与无理数，有理数的四则
运算结果也是数。用从高位到低位比较法比较大小。承认不等式运算
公理：a,b,c 都大于零。如果 a 大于 b,有 ac 大于 bc, ca 大于 cb.

某无理数的第 i 个不足近似值是在这无理数的基础上，保留小数点后 i
位，其后截断，所得的有理数。第 i 个盈余近似值是第 i 个不足近似值
末位加1。

设无理数 x 大于 0,其第 i 个不足有理近似值和第 i 个盈余有理近似值
分别为ai, Ai

设无理数 y 大于 0,其第 i 个不足有理近似值和第 i 个盈余有理近似值
分别为bi, Bi

根据公理：

aibi 小于 xy 小于 AiBi (1)
aibi 小于 yx 小于 AiBi (2)

根据不等式运算，有 |xy - yx| 小于 AiBi - aibi (3)

|xy - yx| 小于 (ai+10^(-i))(bi+10^(-i)) - aibi = (ai+bi+10^(-i))10^(-i)

|xy - yx| 小于 (a1+b1+0.1)10^(-i) (4)

为了(4)满足所有的i, |xy - yx| = 0