假設 a x b - b x a = delta, delta <> 0, 不妨假定delta > 0, a > 0, b > 0

(1) let's pick 有理數d滿足 0 < d < delta [因為在兩個不同的數之間一定能找到一個有理數]
(2) let's pick 有理數K 滿足 K > a 並且 K > b [根據阿基米德公理]
(3) let's pick 有理數a1, 滿足 a1 > a, 並且 (a1 - a) < min(d / (6 x K), a) [因為在兩個不同的數之間一定能找到一個有理數] (a 和 a + min(d / (6 x K), a)之間)
(4) let's pick 有理數b1, 滿足 b1 > b, 並且 (b1 - b) < min(d / (6 x K), b) [因為在兩個不同的數之間一定能找到一個有理數] (b 和 b + min(d / (6 x K), b)之間)
為了方便，我們寫成
a1 = a + A, 其中 0 < A < d/(6 x K), 0 < A < a
b1 = b + B, 其中 0 < B < d/(6 x K), 0 < B < b

現在讓我們計算a1 x b1 - b1 x a1

a1 x b1 - b1 x a1 =
(a + A) x (b + B) - (b + B) x (a + A) =
a x b + A x b + a x B + A x B - (b x a + B x a + b x A + B x A) =
(a x b - b x a) + (A x b + a x B + A x B - B x a - b x A - B x A)
= delta + (A x b + a x B + A x B - B x a - b x A - B x A)

現在讓我們計算(A x b + a x B + A x B - B x a - b x A - B x A)中的每一項
B x a < B x K < (d/(6 x K)) x K = d/6
b x A < K x A < K x (d/(6 x K)) = d/6
B x A < b x A < d 1/ 6

所以(A x b + a x B + A x B - B x a - b x A - B x A) >= -(B x a + b x A + B x A) >= -(d/6 + d/6 + d/6) = -d/2
所以delta + (A x b + a x B + A x B - B x a - b x A - B x A) >= delta - d/2 > d - d/2 = d/2 > 0

所以
(5) a1 x b1 - b1 x a1 > 0
但是我們知道(5)是不可能的，所以delta必須等於0