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二阶电路过渡过程Vout的最大值
送交者: 粱远声 2011年09月08日10:36:42 于 [灵机一动] 发送悄悄话

把Vin看成电池E,在t=0时,开关接通。




令C上的电压为v, 通过的电流为i ,Vin = E。

i = Cdv/dt                                               (1)

建立微分方程

LC d^2v/dt^2 + RC dv/dt + v = E               (2)

解出特征根:

r1 = [-RC+sqrt( (RC)^2 -4LC)]/2LC
r2 = [-RC-sqrt( (RC)^2 -4LC)]/2LC

得到通解:

v = E + k1 exp(r1t) + k2 exp(r2t)              (3)

电路初始条件:C短路,L开路,得到,

i(0) = 0
v(0) = 0

代入初始条件, 得

E + k1 + k2 = 0
r1k1 + r2k2 = 0

解出常数

k1 = -r2E/(r2-r1)
k2 = r1E/(r2-r1)

把常数代入(1) 得

i = E(exp(r1t)-exp(r2t))/L(r1-r2)                 (4)
Vout = RE(exp(r1t)-exp(r2t))/L(r1-r2)         (5)

求极值:

di/dt = 0

tm = (ln(r2) - ln(r1))/(r1-r2)                        (6)

把(6) 代入(5)就得到最终结果,R上的电压最大值。


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