串并联电容问题(3)试解

先把问题修改一下。在如下电路中，假设所有电容的初始电压都是零。开关K处在
中间位置的时候(不扳上也不扳下)，在A，B两端加上电压U后，将电压撤去，让 A，
B悬空。然后开关K扳上扳下10次后，求各A，B两端的电压是多少？




试解：

在A，B两端加上电压U后，(C串C串C)并(C串C串C)。每个电容上的电压是 U/3，
每个电容的充电电量是

Q = CU/3

无论开关K扳下还是扳上都形成上下两个独立的回路，电容的电压，电量相对
中点(开关K)来说，都是对称的。

现在把电容按位置编号列表：

C1        C2

C3        C4

C5        C6


再在把电容上的电量按位置编号列表：

Q1        Q2

Q3        Q4

Q5        Q6

因对称性，无论开关K扳下还是扳上，都有 Q1 = Q6， Q2 = Q5， Q3 = Q4

现在分析上面的回路。
将开关K扳下， C1并(C2串C4)。
将开关K扳上，(C1串C3)并C2。
因为Q3 = Q4，为简化问题，我们可以认为：
将开关K扳下， C1并(C2串C3)。
将开关K扳上，(C1串C3)并C2。

开关扳动前，每个电容的电量都是CU/3。现在略去单位CU，每个电容的电
量都是1/3，列表如下

Q1 = 1/3     Q2 = 1/3

Q3 = 1/3 

K = 1：将开关K扳上，(C1串C3)并C2。(C1串C3)有电流流向C2，使得
(Q1+Q3) = Q2。过程列表如下：

Q1 = 1/3-1/3^2    Q2 = 1/3+1/3^2   

Q3 = 1/3-1/3^2    

==========>
 
Q1 = 2/3^2    Q2 = 4/3^2   

Q3 = 2/3^2    

K = 2：将开关K扳下，C1并(C2串C3)。(C2串C3)有电流流向C1，使得
(Q2+Q3) = Q1。过程列表如下：

Q1 = 2/3^2+4/3^3    Q2 = 4/3^2-4/3^3   

Q3 = 2/3^2-4/3^3        

==========>

Q1 = 10/3^3    Q2 = 8/3^3   

Q3 = 2/3^3

K = 3：将开关K扳上, ........
   
Q1 = 26/3^4    Q2 = 28/3^4   

Q3 = 2/3^4

每次扳动开关，Q1增加的电量与Q2减少的电量相等。也就是说 Q1+Q2
永远=2/3

K = 10：
Q3 = 2/3^11
因对称性，Q1+Q5 = 2/3。所以

Q1 + Q3 + Q5 = 2/3 + 2/3^11
考虑单位

Q1 + Q3 + Q5 = (2/3 + 2/3^11)CU

U1 + U3 + U5 = (2/3 + 2/3^11)U

所以，A，B两端的电压是(2/3 + 2/3^11)U