四维球体积试解
(1)从圆开始。其方程是 x^2 + y^2 <= R^2 
用x=x0的“平面”去截，其截痕是 
y^2 <= R^2 - x0^2 
这是两个点所界定的线段。这个点集的长度是 
2*sqrt(R^2-x0^2) 
圆面积是 Int(-R,R)2*sqrt(R^2-x0^2)dx0 = pi*R^2. 
(2)球方程是 x^2 + y^2 + z^2 <= R^2 
用x=x0的平面去截，其截痕是 
y^2 + z^2 <= R^2 - x0^2 
这是一个半径为sqrt(R^2-x0^2)的圆。这个点集的面积为 
pi*(R^2-x0^2) 
球的体积是 Int(-R,R)pi*(R^2-x0^2)dx0 = 4/3*pi*R^3 . 
(3)四维球方程是 x^2 + y^2 + z^2 + w^2 <= R^2 
用x=x0的平面去截，其截痕是 y^2 + z^2 + w^2 <= R^2 - x0^2 
这是一个半径为sqrt(R^2-x0^2)的球。这个点集的体积为 
4/3*pi*sqrt(R^2-x0^2)^3 
四维球的体积是 Int(-R,R)[4/3*pi*sqrt(R^2-x0^2)^3]dx0 = (1/2)*pi^2*R^4
(4)五维球方程是 x^2 + y^2 + z^2 + w^2 + v^2 <= R^2 
用x=x0的平面去截，其截痕是 y^2 + z^2 + w^2 + v^2 <= R^2 - x0^2 
这是一个半径为sqrt(R^2-x0^2)的四维球。这个点集的体积为 
(1/2)*pi^2*(R^2-x0^2)^2
五维球的体积是 Int(-R,R)[(1/2)*pi^2*(R^2-x0^2)^2]dx0 = ...