求证n维球体积：
V2k=(pi^k/k!)R^2k                     (1)
V2k+1=[2k!(4pi)^k/(2k+1)!]R^(2k+1)    (2)
我们已经知道，当n=2,3时，V2，V3分别是圆和三维球。它们的体积公式都满足上式。
先假设当n=2k时(1)正确。
2k+1的球方程是 x0^2+x1^2+x2^+ ... + x2k^2 <= R
用x=x0的平面去截，其截痕是  x1^2+x2^+ ... + x2k^2 <= R^2 - x0^2  这是一个半径为sqrt(R^2-x0^2)的2k维球。这个点集的体积是 
(pi^k/k!)(R^2-x0^2)k
2k+1维球的体积是
V2k+1 = Int(-R,R)[(pi^k/k!)(R^2-x0^2)k]dx0                     
用 x0 = R*sin(a)代换，得到
V2k+1 = R^(2k+1)(pi^k/k!)Int(-pi/2,pi/2)[cos^(2k)(a)]da = 
R^(2k+1)(pi^k/k!)[2k/(2k+1)][(2k-2)/(2k-1)]...[2/3](2) =  
[2k!(4pi)^k/(2k+1)!]R^(2k+1) 
[注明:上式用到 2k(2k-2)...2=2^k k!和 2^k k!(2k+1)(2k-1)..(3)=(k+1)!]
V2k+1 = [2k!(4pi)^k/(2k+1)!]R^(2k+1) 结果和(2)一样。              
再假设当n=2k+1时(2)正确。
2k+2的球方程是 x0^2+x1^2+x2^+ ... + x2k+1^2 <= R
用x=x0的平面去截，其截痕是  x1^2+x2^+ ... + x2k+1^2 <= R^2 - x0^2  这是一个半径为sqrt(R^2-x0^2)的2k+1维球。这个点集的体积是 
[2k!(4pi)^k/(2k+1)!]sqrt(R^2-x0^2)^(2k+1) 
V2k+2 = Int(-R,R)[[2k!(4pi)^k/(2k+1)!]sqrt(R^2-x0^2)^(2k+1)]dx0 
用 x0 = R*sin(a)代换，得到
V2k+2 = R^(2k+2)[2k!(4pi)^k/(2k+1)!]Int(-pi/2,pi/2)[cos^(2k+2)(a)]da = 
R^(2k+2)[2k!(4pi)^k/(2k+1)!][(2k+1)/2k+2][(2k-1)/(2k)]...[1/2]pi =
[注明：2^k k!(2k+1)(2k-1)...(3)(1) = (2k+1)!]
R^(2k+2)[2^(k+1)pi^(k+1)][(2k+1)!/(2k+1)!]/(2^k+1(k+1)!) =
R^(2k+2)[pi^(k+1)]/(k+1)! 
V2k+2 = R^(2k+2)[pi^(k+1)]/(k+1)! 结果和(1)比较，我们就证明(1)，(2)。