概率，出乎意料[ZT]
“下一個贏家就是你！”這句響亮的具有極大蠱惑性的話是大英帝國彩票的廣告詞。買一張大英帝國彩票的誘惑有多大呢？只要你花上1英鎊，就有可能獲得2200萬英鎊！
一點小小的投資竟然可能得到天文數字般的獎金，這沒辦法不讓人動心，很多人都會想：也許真如廣告所說，下一個贏家就是我呢！因此，自從1994年9月開始發行到現在，英國已有超過90%的成年人購買過這種彩票，並且也真的有數以百計的人成為百萬富翁。如今在世界各地都流行着類似的遊戲，在我國各省各市也發行了各種福利彩票、體育彩票，各地充滿誘惑的廣告滿天飛，而報紙、電視上關於中大獎的幸運兒的報道也熱鬧非凡，因此吸引了不計其數的人踴躍購買。很簡單，只要花2元的人民幣，就可以擁有這麼一次嘗試的機會，試一下自己的運氣。
但一張彩票的中獎機會有多少呢？讓我們以大英帝國彩票為例來計算一下。大英帝國彩票的規則是49選6，即在1至49的49個號碼中選6個號碼。買一張彩票，你只需要選六個號、花1英鎊而已。在每一輪，有一個專門的搖獎機隨機搖出6個標有數字的小球，如果6個小球的數字都被你選中了，你就獲得了頭等獎。可是，當我們計算一下在49個數字中隨意組合其中6個數字的方法有多少種時，我們會嚇一大跳：從49個數中選6個數的組合有13983816種方法！
這就是說，假如你只買了一張彩票，六個號碼全對的機會是大約一千四百萬分之一，這個數小得已經無法想象，大約相當於澳大利亞的任何一個普通人當上總統的機會。如果每星期你買50張彩票，你贏得一次大獎的時間約為5000年；即使每星期買1000張彩票，也大致需要270年才一次六個號碼全對的機會。這幾乎是單個人力不可為的，獲獎僅是我們期盼的偶然而又偶然的事件。
那麼為什麼總有人能成為幸運兒呢？這是因為參與的人數是極其巨大的，人們總是抱着撞大運的心理去參加。孰不知，彩民們就在這樣的幻想中為彩票公司貢獻了巨額的財富。一般情況下，彩票發行者只拿出回收的全部彩金的45%作為獎金返還，這意味着無論獎金的比例如何分配，無論彩票的銷售總量是多少，彩民平均付出的1元錢只能贏得0.45元的回報。從這個平均值出發，這個遊戲是絕對不划算的。
概率：直覺易出錯
在社會和自然界中，我們可以把事件發生的情況分為三大類：在一定條件下必然發生的事件，叫做必然事件；在一定條件下不可能發生的事件，叫做不可能事件；在一定條件下可能發生也可能不發生的事件，叫做隨機事件。在數學上，我們把隨機事件產生的可能性稱為概率。嚴格說來，概率就是在同一條件下，發生某種事情可能性的大小。概率在英文中的名稱為probability，意為可能性、或然性，因此，概率有時也稱為或然率。
彩票是否中獎就是個典型的概率事件，但概率不僅僅出現在類似買彩票這樣的賭博或遊戲中，在日常生活中，我們時時刻刻都要接觸概率事件。比如，天氣有可能是晴、陰、下雨或颳風，天氣預報其實是一種概率大小的預報；又如，今天某條高速公路上有可能發生車禍，也有可能不發生車禍；今天出門坐公交車，車上有可能有小偷，也有可能沒有小偷。這些都是無法確定的概率事件。
由於在日常生活中經常碰到概率問題，所以即使人們不懂得如何計算概率，經驗和直覺也能幫助他們作出判斷。但在某些情況下，如果不利用概率理論經過縝密的分析和精確的計算，人們的結論可能會錯得離譜。舉一個有趣的小例子：給你一張美女照片，讓你猜猜她是模特還是售貨員？很多人都會猜前者。實際上，模特的數量比售貨員的數量要少得多，所以，從概率上說這種判斷是不明智的。
其實，上面所說的彩票問題也反映了人們對概率自以為是的直覺是多麼靠不住。人們在購買彩票時總是只看到那些中了大獎的故事，而不願去考慮中大獎其實是個最典型的小概率事件，其概率低到根本不值得去買。數學專家認為，概率低於1/1000，就可以忽略不計了，而大英帝國彩票中特等獎的概率只有一千四百萬分之一，即使是選號範圍小一些的彩票，中到特等獎的概率一般也要五百萬分之一，這樣小的概率居然還有這麼多人趨之若鶩。有笑話說全世界的數學家都不會去買彩票，因為他們知道，在買彩票的路上被汽車撞死的概率遠高於中大獎的概率。
人們在直覺上常犯的概率錯誤還有對飛機失事事件。也許出於對在天上飛的飛機本能的恐懼心理，也許是媒體對飛機失事的過多渲染，人們對飛機的安全性總是多一份擔心。但是，據統計，飛機旅行是目前世界上最安全的交通工具，它絕少發生重大事故，造成多人傷亡的事故率約為三百萬分之一。假如你每天坐一次飛機，這樣飛上8200年，你才有可能會不幸遇到一次飛行事故，三百萬分之一的事故概率，說明飛機這種交通工具是最安全的，它甚至比走路和騎自行車都要安全。
事實也證明了在目前的交通工具中飛機失事的概率最低。1998年，全世界的航空公司共飛行1800萬個噴氣機航班，共運送約13億人，而失事僅10次。而僅僅美國一個國家，在半年內其公路死亡人數就曾達到21000名，約為自40年前有噴氣客機以來全世界所有噴氣機事故死亡人數的總和。雖然人們在坐飛機時總有些恐懼感，而坐汽車時卻非常安心，但從統計概率的角度來講，最需要防患於未然的，卻恰恰是我們信賴的汽車。
隨意的估算也不准
不斷地拋一枚硬幣，當它落到地上時，出現正、反面次數相同的概率是多少？很多人都會以為隨着拋硬幣次數的增加，正、反面出現次數相同的概率也在遞增，但這個想法錯了。恰恰相反，其概率隨着拋硬幣次數的增加在遞減。拋2次時出現正反兩面各1次的概率是50%，拋6次時出現正反兩面各3次的概率是31.25%，拋10次時出現正反兩面各5次的概率是24.61%，拋100次時出現正反兩面各50次的概率只有大約8%(當然，隨着拋的次數增加，正、反面出現的次數非常接近，就是難以做到完全相同)。這說明，面對一個貌似簡單的概率問題時，我們如果隨意估算，輕易下結論，可能與實際情況恰好南轅北轍。
我們來看一個經典的生日概率問題。以1年365天計(不考慮閏年因素)，你如果肯定在某人群中至少要有兩人生日相同，那麼需要多少人？大家不難得到結果，366人，只要人數超過365人，必然會有人生日相同。但如果一個班有50個人，他們中間有人生日相同的概率是多少？你可能想，大概20%～30%，錯，有97%的可能！
它的計算方式是這樣的：
a、50個人可能的生日組合是365×365×365×……×365(共50個)個；
b、50個人生日都不重複的組合是365×364×363×……×316(共50個)個；
c、50個人生日有重複的概率是1-b/a。
這裡，50個人生日全不相同的概率是b/a=0.03，因此50個人生日有重複的概率是1-0.03＝0.97，即97%。
根據概率公式計算，只要有23人在一起，其中兩人生日相同的概率就達到51%！
但是，如果換一個角度，要求你遇到的人中至少有一人和你生日相同的概率大於50%，你最少要遇到253人才成。
再來看一個常見的抽獎例子。參加抽獎，當然人人都會想得獎，這時候該先抽獎還是後抽，才能讓中獎機率提高呢？
恐怕很多人都會在這個問題上犯糊塗，讓我們用科學方法解決這個問題吧。假設有二個酸蘋果、一個甜蘋果，甲乙丙依次從箱中摸出一個，誰最有機會吃到甜蘋果呢？首先，甲的機會是三摸一，所以甲摸到甜蘋果的概率是1/3。乙的機會如何呢？甲沒有摸到的概率是2/3，然後在這個概率中計算乙摸到的概率：(2/3)×（1/2)(只剩2個蘋果讓乙摸)=1/3，所以乙摸到甜蘋果的機率是1/3。丙呢？丙只有在甲、乙都沒有摸到的情況下才可能摸到甜蘋果，所以扣掉甲、乙摸中的概率，就是丙的機會大小了，其概率是1-(1/3)-(1/3)=1/3。
明白了嗎？不管先摸也好，後摸也罷，每個人摸到甜蘋果的機會其實都是一樣的。
從賭博中發展的概率理論
既然一個事件的概率憑感覺隨便估計總是容易出錯，而概率又與人類生活息息相關，那人們就得嚴肅對待概率問題了。
概率問題的歷史可以追溯到遙遠的過去，很早以前，人們就用抽籤、抓鬮的方法解決彼此間的爭端，這可能是概率最早的應用。而真正研究隨機現象的概率論出現在15世紀之後，當時的保險業已在歐洲蓬勃發展起來，不過，當時的保險業非常不成熟，只是一種完全靠估計形勢而出現的賭博性事業，保險公司要承擔很大的不確定性風險，保險業的發展渴望能有指導保險的計算工具的出現。
這一渴望戲劇性地因15世紀末賭博現象的大量出現而得到解決。當時的主要賭博形式有玩紙牌、擲骰子、轉銅幣等。參加賭博的人，特別是那些專門從事以贏利為生的職業賭徒，鏖戰賭場，天長日久就逐漸悟出了一個道理：在少數幾次賭博中無法預料到輸贏的結果，如果多次進行下去，就可能有所預料，這並不是完全的碰巧。這無意中就給學者們提供了一個比較簡單而又非常典型的概率研究模型。
1654年，有一個法國賭徒梅勒遇到了一個難解的問題：梅勒和他的一個朋友每人出30個金幣，兩人誰先贏滿3局誰就得到全部賭注。在遊戲進行了一會兒後，梅勒贏了2局，他的朋友贏了1局。這時候，梅勒由於一個緊急事情必須離開，遊戲不得不停止。他們該如何分配賭桌上的60個金幣的賭注呢？梅勒的朋友認為，既然他接下來贏的機會是梅勒的一半，那麼他該拿到梅勒所得的一半，即他拿20個金幣，梅勒拿40個金幣。然而梅勒爭執道：再擲一次骰子，即使他輸了，遊戲是平局，他最少也能得到全部賭注的一半——30個金幣；但如果他贏了，並可拿走全部的60個金幣。在下一次擲骰子之前，他實際上已經擁有了30個金幣，他還有50%的機會贏得另外30個金幣，所以，他應分得45個金幣。
賭本究竟如何分配才合理呢？後來梅勒把這個問題告訴了當時法國著名的數學家帕斯卡，這居然也難住了帕斯卡，因為當時並沒有相關知識來解決此類問題，而且兩人說的似乎都有道理。帕斯卡又寫信告訴了另一個著名的數學家費馬，於是在這兩位偉大的法國數學家之間開始了具有劃時代意義的通信，在通信中，他們最終正確地解決了這個問題。他們設想：如果繼續賭下去，梅勒(設為甲)和他朋友(設為乙)最終獲勝的機會如何呢？他們倆至多再賭2局即可分出勝負，這2局有4種可能結果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。前3種情況都是甲最後取勝，只有最後一種情況才是乙取勝，所以賭注應按3：1的比例分配，即甲得45個金幣，乙15個。雖然梅勒的計算方式不一樣，但他的分配方法是對的。
三年後，也就是1657年，荷蘭著名的天文、物理兼數學家惠更斯把這一問題置於更複雜的情形下，試圖總結出更一般的規律，結果寫成了《論擲骰子遊戲中的計算》一書，這就是最早的概率論著作。正是他們把這一類問題提高到了理論的高度，並總結出了其中的一般規律。同時，他們的研究還吸引了許多學者，由此把賭博的數理討論推向了一個新的台階，逐漸建立起一些重要概念及運算法則，從而使這類研究從對機會性遊戲的分析發展上升為一個新的數學分支。
由賭徒的問題引起，概率逐漸演變成一門嚴謹的科學。
相同的概率，不同的結論
有時，面對同一個概率事件，隨着問題的着眼點不同，我們得出的結論可能截然相反。這一點會使一般人感到迷惑不解，我們在這裡打一個通俗的比喻：某人是嫌疑犯，也找到了一些他的犯罪證據，但不是決定性的，若我們要求“只有找到了更重要的犯罪證據才能判他有罪”，則他將被判為無罪；反之，若要求“只有找到了證明他沒有犯罪的重要證據才能判他無罪”，則他將被判有罪，在這裡，着眼點的不同決定了不同的判罰。
這方面的著名事例是辛普森殺妻案。
1994年6月12日深夜，美國洛杉磯西部一個豪華住宅區里，一隻小狗在不停地狂吠，引起了鄰居家的注意。當人們隨着狗吠聲來到一住宅門前時，赫然發現兩具血淋淋的屍體！警察接到報警後迅速趕到現場，發現兩名死者是美國黑人橄欖球明星辛普森的妻子和一個餐館服務員，而這所豪宅就是辛普森的家。
警方在經過大量艱苦細緻的調查後，搜集到了大量證據都表明辛普森有重大殺人嫌疑：他的汽車上染有死者血跡，車道上也發現血跡，案發現場還有染血手套和其它證據；還有證人作證說在辛普森妻子死亡的時間段內看到了辛普森就在其豪華住宅附近；歷年報警記錄還顯示辛普森曾多次暴力虐妻。這些證據都對辛普森極為不利，檢察官據此向法院控告辛普森犯有一級謀殺罪。遺憾的是，控方所提供的證據中有小一部分因不符合法定程序而不被法庭採信。即便如此，在這起案件中，辛普森殺人的概率也有95%以上。
然而，最後的審判結果卻讓全世界大吃一驚：辛普森被無罪釋放！
原來，美國的刑事法律是建立在無罪推定的基礎上的，尤其是對於殺人案這樣重大的案件，要最後給被告定罪，控方所提供的證據要近乎100%令人信服才行，稍有疑問就不得被判有罪。95%以上的概率不足以使辛普森被判有罪。
頗具戲劇性的是，當辛普森前妻的娘家在向法院提起民事訴訟時，法院卻判決辛普森輸，賠償原告3350萬美元。之所以有如此結果，是因為刑事審判與民事審判的證據採用規則有差別，在民事訴訟中，只要原告提供的證據只要比被告的有說服力就可以贏。用數學概率來表示，刑事訴訟中控方需要近乎100%的證明，民事訴訟中原告只要證明有51%以上的可能性即可。在這起案件中，95%以上的概率足以使辛普森賠得傾家蕩產。
統計開闢概率新天地
早期人們對概率的研究，都局限於我們日常接觸到的有限事件的組合，例如玩牌、賭博中的計算問題，彩票的中獎問題，體育比賽時的抽籤問題，等等，這些都是古典概率問題。古典概率只能處理諸如賭博中有限事物的組合，有非常大的局限性。而自然與社會中有許多事件是非常複雜的，如人口統計、男女出生統計、消費統計、各種民意調查等等，無法用簡單的古典概率窮盡。經過幾代數學家的努力，大約用了200年的時間，概率論發生了質的飛躍，具備了與統計結合的條件，出現了統計概率。
19世紀初，由於生產力的迅猛發展，統計事業開始走向昌盛。比利時學者A·凱特勒率先把統計方法從自然科學領域推廣到社會科學領域，從而為人們認識社會發展規律的客觀性打開了一扇窗口。
凱特勒認為，規律躲避着我們的理智，因為我們觀察到的只是單個人的行為，大量偶然性的、個體特徵我們無法記錄下它們。因此，需要一種嶄新的、方法來反映社會的整體風貌和趨向。他把統計理論和概率理論結合起來，開創了統計概率應用的先河。
凱特勒仔細研究了當時法國、比利時和英國的司法刑事機關報的匯編，驚訝地發現，這些國家每年犯罪的次數大體不變，不僅如此，各種類型的犯罪也有驚人的重複性。凱特勒本人都為這些驚人的發現所震動，他感嘆道：“這是人類多麼可悲的性質啊！監獄、鐵鏈和斷頭台的命運對人類來說就像國家的收入一樣，可以以某種概率被預先決定。我們甚至能預先計算出來，下一年會有多少人將用和自己一樣的血弄髒自己的手，有多少人將是偽造者，多少人是投毒者，這一切就像能夠確定出生與死亡的數量一樣。”凱特勒還分析了人的“自由意志”的其他表現，如結婚、自殺等，也得到同樣的結果。在我們以為完全是由個人的自由意志決定的地方，仍然有客觀規律在起作用，這真是冥冥之中無法逃脫的宿命。
凱特勒的報告引起了當時社會的轟動。從此，統計走出了原來的雜亂無章的狀況。把概率應用到統計中凱特勒是第一人，科學史上將凱特勒開創性的工作看作是現代統計學的起點，凱特勒也被譽為“現代統計學之父”。從那以後，統計概率在社會中的應用得到了蓬勃發展，當時的各種社會調查，如犯罪調查、貧民調查、工業調查、城市調查等都得到了廣泛開展。這些調查使得人類首次能夠從數學的角度審視自身行為、並把它們置於概率論模型下進行研究。
用概率來統計的社會
統計概率對人們的觀念的影響是深遠的，自從十九世紀二三十年代凱特勒開創了統計概率以來，人們對統計數據規律性的信任超過了以往的任何一個時代。國家以各種報表來了解工業、農業、國防、人口、消費、犯罪等方面的資料。制定銀行利息的高低需要消費指數和通貨膨脹率，如果通貨膨脹率高，消費指數低，銀行就會考慮提高利率，反之亦然。國家舉行重大活動需要了解幾百年甚至上千年的天氣資料，以避免遭遇惡劣天氣的影響。例如，1990年北京亞運會的舉辦時間為8月21日至9月6日，就是因為根據統計資料顯示，北京這期間遭遇惡劣天氣的概率非常低。
今天，統計概率已經滲透到社會科學、自然科學的方方面面，特別是計算機的廣泛運用，使社會統計工作得以全面展開。我們耳熟能詳的食品檢測報告、人口統計、犯罪統計、國民生產總值的統計，國家和公司為了了解民意所進行的民意調查、市場調查，無一不涉及統計概率。同時，概率統計已經變成現代人理念與信念體系中的一部分。比如，對於美國大選，可以通過民意調查，用概率統計的方式計算某個候選人的受歡迎程度。而反過來，這種數據又一定程度左右人們的好惡，致使民意傾向變化，而影響到實際的選舉過程。這說明概率統計的觀念也影響到每一個人的行為和生活方式。
總之，從概率的思想走出機會性(博彩)遊戲的範圍，到應用的不斷深化，這一過程中人類的思想觀念發生了巨大的轉變，這就是概率帶來的革命。
概率不僅出現在人類社會生活中，在大自然的精心安排之下，生命的繁殖、進化也莫不服從於概率論的神奇安排。早在1843年，捷克修道士孟德爾首先為世人揭示了大自然的奧秘。醉心於自然科學的孟德爾，在閒暇研究植物的遺傳規律，他選擇了豌豆作為實驗材料。豌豆是一種嚴格自花傳粉的植物，它的雄蕊被花瓣包圍，將外來的花粉拒之門外；同時，具有一些如高莖對矮莖、圓形對皺形、黃子葉對綠子葉、灰種皮對白種皮等具有明顯差異的性狀。孟德爾發現，當把不同品種的豌豆的這些性狀在遺傳到下一代時，總是遵循着大約3∶1的統計概率：高莖的與矮莖的植株比例為2.84比1；圓形的與皺形的植株比例為2.96比1；黃子葉與綠子葉的植株比例為3.01比1；灰種皮的與白種皮的植株比例為3.15為1。
現在，人們在教科書中稱這個奇妙的比例為孟德爾第一定律，這個比例產生的原因是由於兩種遺傳基因在進入下一代的雜種細胞時，彼此分離，互不干擾，最後在生物傳粉過程中隨機組合，所以這個規律又稱“分離定律”。後來孟德爾經過艱苦的探索又發現了兩對性狀不同的植株進行時，不同對的遺傳基因自由組合，而且機會均等。這就是孟德爾第二定律，也稱“自由組合定律”。孟德爾發現的分離規律和自由組合規律實質上就是概率統計規律在遺傳過程的體現。
