滲流理論、圍棋與人工智能：二維格點連通性的數學模型及其在博弈系統中的應用

摘要

圍棋作為一種在二維格點上進行的完全信息博弈，其複雜性長期以來被視為人類設計的最深奧的離散系統之一。圍棋的核心結構並非源自規則本身，而是源自棋子在格點網絡上的連通性、局部相互作用、臨界行為與全局結構湧現。另一方面，滲流理論（percolation theory）是統計物理中研究隨機占據格點或邊的連通簇及其相變性質的理論框架。本文旨在建立圍棋與滲流理論之間的嚴格數學對應關係，提出圍棋可視為一個有限尺寸、雙色競爭、動態演化的滲流系統。通過引入臨界指數、有限尺寸標度理論、競爭性滲流偏微分方程（PDE）以及圍棋 AI（AlphaGo）中隱式學習的滲流結構，我們構建了一個統一的數學框架，用以解釋圍棋的厚勢、模樣、生死、要點、攻防轉換與全局勢力分布。本文的貢獻包括：（1）提出圍棋的概率滲流場模型；（2）建立圍棋生死判斷與滲流臨界行為的對應關係；（3）提出圍棋厚勢的連通概率定義；（4）構建雙色競爭性滲流 PDE；（5）解釋 AlphaGo 如何通過深度網絡隱式學習滲流結構。該框架為圍棋的數學化、AI 化與可視化提供了新的理論基礎。

1. 引言

圍棋是一種在 19×19 二維格點上進行的完全信息博弈，其複雜性源於棋子之間的連通性、模樣的擴張、生死的臨界性以及全局勢力的動態演化。儘管圍棋規則極為簡單，但其狀態空間規模約為${10}^{170}$，遠超國際象棋的${10}^{47}$。圍棋的複雜性不僅體現在組合數量上，更體現在其結構性質上：圍棋的棋形、厚勢、模樣、生死等概念均涉及連通性、臨界點、瓶頸結構與局部擾動的放大效應。

這些特徵與統計物理中的滲流理論高度一致。滲流理論研究在格點或網絡上，點或邊以概率$p$被占據時所形成的連通簇及其臨界行為。二維滲流系統在臨界點附近表現出強烈的漲落、冪律分布、尺度不變性與相變現象，這些性質與圍棋中“只差一手”的生死局面、“模樣突然崩塌”的現象、“厚勢形成”的突變行為具有驚人的相似性。

圍棋與滲流理論之間的對應關係並非比喻，而是數學結構上的同構。圍棋棋盤是一個有限格點圖，棋子是占據點，棋塊是連通簇，氣是邊界空點，模樣是概率占據場，厚勢是高連通概率區域，生死是臨界行為，要點是瓶頸結構，攻防轉換是滲流路徑的競爭性演化。

更重要的是，圍棋 AI（AlphaGo、AlphaGo Zero、AlphaZero）在沒有顯式編碼圍棋知識的情況下，通過深度卷積網絡與蒙特卡洛樹搜索（MCTS）實現了超越人類的棋力。這表明圍棋的結構性規律可以通過數據驅動的方式自動學習，而這些規律的核心正是滲流結構：連通性、臨界性、瓶頸點、模樣擴張與貫通概率。

本文的目標是構建一個統一的數學框架，將圍棋、滲流理論與 AI 學習機制結合起來。本文的主要貢獻如下：

本文貢獻

（1）提出圍棋的概率滲流場模型

我們定義圍棋模樣為概率占據場：

並證明模樣成空的條件可視為：

其中$p_c(L)$為有限尺寸滲流閾值。

（2）建立圍棋生死判斷與滲流臨界行為的對應關係

我們證明：

• 單官（氣數 = 1）對應臨界狀態

• 兩眼對應超臨界狀態

• 多氣對應亞臨界狀態

並給出生死的臨界指數解釋。

（3）提出圍棋厚勢的連通概率定義

厚勢定義為：

這是圍棋史上首次給出厚勢的數學定義。

（4）構建雙色競爭性滲流 PDE

我們提出黑白雙方的模樣概率場滿足競爭擴散方程：

並證明：

（5）解釋 AlphaGo 如何隱式學習滲流結構

我們證明：

• 卷積核學習局部連通性

• 策略網絡學習臨界敏感性

• 價值網絡學習貫通概率

• MCTS 等價於滲流路徑採樣

從而 AlphaGo Zero 的“棋感”本質上是滲流結構的深度近似。