畢達哥拉斯學派所說的數，原來是指整數，他們不把分數看成一種數，而僅看作兩個整數之比，他們錯誤地認為，宇宙間的一切現象都歸結為整數或整數之比。該學派的成員希伯索斯根據勾股定理（西方稱為畢達哥拉斯定理）通過邏輯推理發現，邊長為l的正方形的對角線長度既不是整數，也不是整數的比所能表示。希伯索斯的發現被認為是“荒謬”和違反常識的事。它不僅嚴重地違背了畢達哥拉斯學派的信條，也衝擊了當時希臘人的傳統見解。使當時希臘數學家們深感不安，相傳希伯索斯因這一發現被投入海中淹死，這就是第一次數學危機.

十七世紀微積分誕生後，由於推敲微積分的理論基礎問題，數學界出現混亂局面，即第二次數學危機(不是歐氏幾何的第五個公理平行線公理否定問題)。微積分的形成給數學界帶來革命性變化，在各個科學領域得到廣泛應用，但微積分在理論上存在矛盾的地方。無窮小量是微積分的基礎概念之一。微積分的主要創始人牛頓在一些典型的推導過程中，第一步用了無窮小量作分母進行除法，當然無窮小量不能為零；第二步牛頓又把無窮小量看作零，去掉那些包含它的項，從而得到所要的公式，在力學和幾何學的應用證明了這些公式是正確的，但它的數學推導過程卻在邏輯上自相矛盾。焦點是：無窮小量是零還是非零？如果是零，怎麼能用它做除數？如果不是零，又怎麼能把包含着無窮小量的那些項去掉呢？直到19世紀，柯西詳細而有系統地發展了極限理論。柯西認為把無窮小量作為確定的量，即使是零，都說不過去，它會與極限的定義發生矛盾。無窮小量應該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質上它是變量，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無窮小的概念，而且把無窮小量從形而上學的束縛中解放出來，第二次數學危機基本解決。