| 討論：信念與數學危機 |
| 送交者: 喜來登 2005年02月10日11:18:01 於 [彩虹之約] 發送悄悄話 |
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------------------------------------------------------------------------------- 羅素悖論號稱是“第三次數學危機”。我們來看看所謂前兩次是怎麼回事。 第一次的起因是這樣的。古時候人們只有有理數的概念，認為天下所有的“數”都可以寫成兩個整數的商。(現在我們知道，只有有理數才是整數的商，而無理數是沒辦法“除”出來的，有理數和無理數合在一起，構成實數集)有一個人忽然發現，邊長為1的正方形的對角線長度(也就是根號2)居然沒辦法寫成兩個整數的商!這下不得了了，數學居然自相矛盾了(現在看起來，這哪裡自相矛盾了？不就是發現了一個無理數麼？你證明了根號2不是有理數，不是就不是唄。)，於是引起軒然大波。以今天的眼光看，這傷到所謂“數學大廈”了麼？根本沒有。但是當時的人們因為只有有理數，所以覺得數學大廈要坍塌了。這驗證了我的說法，所謂“悖論”不過是反證法而已。我們假定根號2是有理數(就是兩個整數的商)，然後推出了矛盾，這僅僅說明根號2不是有理數而已。僅此而已。 再看看所謂第二次數學危機。自古以來，人們認為歐氏幾何是最自然，也是唯一的幾何。但是後來，有人覺得歐幾里得陳列的五個公理太多了。(數學家就是這個毛病，總喜歡假定的東西越少越好，這樣才乾淨)於是試圖去掉這個公理，只用前四個。本來是希望用前四個推一推，推出矛盾，好讓大家服氣這個第五公理是去不得的。誰知道越推越多越推越大，卻怎麼也沒有矛盾。後來居然就推出一套和歐氏幾何完全平行的幾何理論出來，叫羅巴切夫斯基幾何。這套新幾何裡面不假定歐幾里得的第五公理，於是和我們平常的習慣格格不入。比如，它認為過直線外一點可以做無窮多條平行線。彆扭是彆扭，但是單純從邏輯角度來說，這套新的幾何是一套好好的理論系統，就像以前的歐氏幾何一樣自圓其說。但是當時可是不得了啊，有人又喊了，了不得，過平行線外一點可以做兩條平行線，反了反了，國將不國了，數學居然連這個都推不出矛盾，數學完蛋了。現在看來，這是所謂“危機”麼？當然不是。這第二次數學危機和第一，第三次味道有點不一樣，它不是推出了矛盾(如果推出了矛盾，我說，就是反證法)，而是一直推下去，一直沒有矛盾，推出了新的不合人們習慣的新理論。但是不管怎麼說，沒有人到現在還仍然認為，第二次數學危機是數學“致命的危機”。 後來就是羅素悖論了，這是第三次。看看前兩次都是怎麼回事，憑什麼認為這第三次就是“致命”的呢？當然數學家不能這樣說話，不能說因為前兩次都不危機，所以“類比”這第三次也不是，如果這麼說的話，那數學就墮落到別的學科的水平了。要說明這第三次數學危機也不是危機，需要認真的剖析它。我前幾個帖子裡面已經反覆論證過了。 這個帖子的目的只是要幫助大家回顧一下前兩次數學危機，讓大家看到前兩次數學危機都不是真正的“危機”，相反是促進數學發展的好事情。其中第一次危機和羅素悖論(第三次危機)味道很像，都是推出了矛盾。這不可怕，推出了矛盾，這說明我們發現了不在我們現有知識範疇內的新東西。 畢達哥拉斯學派所說的數，原來是指整數，他們不把分數看成一種數，而僅看作兩個整數之比，他們錯誤地認為，宇宙間的一切現象都歸結為整數或整數之比。該學派的成員希伯索斯根據勾股定理（西方稱為畢達哥拉斯定理）通過邏輯推理發現，邊長為l的正方形的對角線長度既不是整數，也不是整數的比所能表示。希伯索斯的發現被認為是“荒謬”和違反常識的事。它不僅嚴重地違背了畢達哥拉斯學派的信條，也衝擊了當時希臘人的傳統見解。使當時希臘數學家們深感不安，相傳希伯索斯因這一發現被投入海中淹死，這就是第一次數學危機. 十七世紀微積分誕生後，由於推敲微積分的理論基礎問題，數學界出現混亂局面，即第二次數學危機(不是歐氏幾何的第五個公理平行線公理否定問題)。微積分的形成給數學界帶來革命性變化，在各個科學領域得到廣泛應用，但微積分在理論上存在矛盾的地方。無窮小量是微積分的基礎概念之一。微積分的主要創始人牛頓在一些典型的推導過程中，第一步用了無窮小量作分母進行除法，當然無窮小量不能為零；第二步牛頓又把無窮小量看作零，去掉那些包含它的項，從而得到所要的公式，在力學和幾何學的應用證明了這些公式是正確的，但它的數學推導過程卻在邏輯上自相矛盾。焦點是：無窮小量是零還是非零？如果是零，怎麼能用它做除數？如果不是零，又怎麼能把包含着無窮小量的那些項去掉呢？直到19世紀，柯西詳細而有系統地發展了極限理論。柯西認為把無窮小量作為確定的量，即使是零，都說不過去，它會與極限的定義發生矛盾。無窮小量應該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質上它是變量，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無窮小的概念，而且把無窮小量從形而上學的束縛中解放出來，第二次數學危機基本解決。
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