大家討論太多庸俗的東西了！我們來討論一點形而上的學問，對神的認識也許有幫助啊。有個哲學家叫庫薩的尼古拉寫過一本書叫：論有學問的無知，探討的就是這個意思。

最近看到關於彭加萊猜想的報道，以為是黎曼猜想，就沒太仔細看，今天看到一個貼子介紹了一下這個猜想，我才明白是怎麼回事，原來是拓樸學裡的一個猜想啊，而且這個猜想我以前也研究過一個簡單的例子嘛。

話要說到我在大學的時候，要去研究拓樸學。為此我專門買了我這一生第一本英文書，不知道哪個地方影印的，叫做“Algebraic Topology”， 代數拓樸學，厚厚一本，得有400多頁。我寒假裡開始研究，因為我研究過群論，拓樸學看起來模型又很簡單，以為讀起來沒什麼問題。結果，印象里沒有讀過去10頁紙。現在想想可能是基礎太差，英文也跟不上的緣故。

然後我就到圖書館裡找其它的書來看。首先看到的是江澤涵的拓樸學。我記不清是他從德文翻譯的還是自己寫的了，我想應該是自己寫的。記得在前言裡還提到王湘浩怎麼鼓勵他把書寫完云云。中國人寫的書不是給人看的，是為了學生學習過後可以提綱挈領複習的。反正那書我看得腦袋發暈，紙又發黃，長着霉，用的是二戰時候的語言，實在看不下去。

結果有幸看到一本孫以豐先生翻譯的一般拓樸學，記的是Armstrong所寫，General Topology. 就開始研究那一本。我那個時候，實變函數已經自己讀完，泛函也略略順了一遍，尤其是後來又把那湯松的第一冊實變研究了一遍。群論基礎也自己看完，枷羅華理論也看了一點。所以應該有些基礎。美國人寫的書就是好看，翻譯也好，那本書的紙張也很舒服。一上來就是講什麼是拓樸，好象就是實變里的開集的概念。慢慢看，越看越有意思。記得接着就是彭加萊的二維結果，下面再講。

拓樸學裡有很多有意思的結果。比如那本書裡講到不動點定理，只記得是從一個閉集到自己的連續函數，其中必有一個點是要映射到自己上面。不動點定理在很多分支里都有不同的說法，比如在數理邏輯里證明哥得爾定理也用到一個特殊的不動點定理。有人告訴我一個很好的比方來說明拓樸里的不動點。比如有這麼一個頭，上面布滿了頭髮，每根頭髮有根有尾，每個點上都長了頭髮。我們現在來梳頭，讓頭髮都貼着頭，所以每根頭髮的根和尾都在頭上，這就是個映射，從根到尾的映射。當然這裡在附近的頭髮長度都要差不多，就是說理髮的時候理得很仔細。這樣我們來梳頭的時候，如果梳得很平整，每個地方都不格格楞愣，就是比較油頭粉面，那麼總有一根頭髮根和尾是重合的。

另一個定理是莫比烏斯定理。莫比烏斯帶(Mobius Strip)大家都知道的。不知道我來告訴你，那一跟長條紙，我們看它作一個長方形，為了解釋方便，我們叫上面的一條長邊ab,下面的長邊cd. 那麼左邊的短邊(或者叫高)就是ac, 右邊的短邊叫bd. 如果我們把ac 和 bd 重合黏在一起，我們就得到一個環，就是一個紙環，詩經那個時候男女青年在野外定情的草戒估計就是那個樣子。現在我們變化一下，我們把ac 和 db 重合黏在一起，注意這裡a 和 d， c 和 b 要黏在一起，我們就得到了一個莫比烏斯帶。莫比烏斯帶有什麼性質呢？我們把一隻螞蟻放在這個帶子上，螞蟻小伙會非常勤勞地順着帶子前進，開始它轉了一圈，又會回到原來地方。也就是說，莫比烏斯帶只有一個面。這是帶子，再上升一點抽象性，還有瓶子，叫Klein bottle. daj大家可以google一下就知道什麼樣子，就是說一個瓶子既可以在裡面又可以在外面。

莫比烏斯證明了關於封閉曲面的定理。什麼是封閉曲面呢？比如一個球就是封閉曲面，一個在紙上畫的圓面就不是。什麼意思呢？就是你在這個有限的面上走，要是老沒有個界限，就是封閉，比如在球上，你走啊走，可以回到原地，但是沒有一個邊說：你到頭了，回頭吧。但是那個圓面就不是封閉的，因為你走啊走，到了邊上就過不去了。老莫說，任何一個封閉的曲面都可以這麼得到：拿個球面來，我們來做手術。挖兩個洞，拿個茶壺柄來，接在那兩個洞上；部不夠的話，再挖兩個洞，再接個茶壺柄，直到夠了。或者呢，挖一個洞，拿個莫比烏斯帶來，把莫比烏斯帶的唯一的邊(現在莫比烏斯帶只有一個邊，不象原來的長條有四個邊，或者是紙環有兩個邊)對齊那個新挖的洞的邊，把它們黏起來。

老莫證明了這個定理，牛皮哄哄，送到法國科學院參加科技競賽大獎評選。那個時候，這個獎很牛的，什麼伯努力家族經常幹這個。其中一個老伯努力一年自己兒子得了獎自己卻沒得，十分氣憤，把兒子都從窗子裡扔出去了。可惜老莫運氣也不行，法國科學院的人說，這是什麼啊，就幾個茶壺把子疊疊紙片就得大獎，denied! 結果沒想到老莫這個定理是影響巨大的。

回到彭家萊的定理。我很感謝那本一般拓樸學，尤其是彭家萊的定理。原因是從那本書裡我終於明白了什麼是數學。我讀了很多數學書，但是我從來沒有從書裡超脫出來，想想數學家是怎麼思維的。彭家萊救了我，他告訴我什麼是數學。彭家萊為什麼要搞拓樸呢，定義了一大堆關於拓樸的概念，就是為了證明一個圓面和一個環面是不一樣的，拓樸上叫不同胚。什麼意思呢？我們可以找張紙，裁個圓面出來；再拿一張紙，裁個圓面，然後從裡面剪去一個小圓，就是一個環面。如果假如我不是剪紙，而是用橡皮布，可以拉長縮短，從一個怎麼也變不出另一個。但是一個長方形就跟圓是一樣的，是同胚的。彭家萊想，如果有個螞蟻在一個面上，它不能跟我們一樣從外面看，它怎麼知道它是在一個圓面上還是在一個環面上呢？他的證明是這樣的。這個螞蟻可以畫個大圓，假設如果在環面上，環面的那個洞正好被這個圓所包括，那麼，它可以慢慢縮小這個圓，比如這個圓就是根繩子，它可以慢慢拉。如果是在個圓上，最後這個勤勞的螞蟻會把繩子縮到一個點上，但是在環面上，它就怎麼也做不到。這個圓和點如果能這麼變換過去叫作同倫。在環面上，圓和點是不同倫的。

彭家萊的猜想呢，比這個要高一步。他考慮的是一個球面和一個donut，或者說是汽車輪子，呼拉圈。他說球面和輪子是不一樣的，但是在上面的一個螞蟻怎麼可以知道呢？你看這裡我們再拉繩子就不頂用了，因為螞蟻只能在面上活動，不能跳出來，這個大獎就是為這麼個問題。據說現在有人解決了這個問題，真牛啊！

寫一點普及的東西，來紀念我以前努力學習胸懷大志的年代，也紀念忘個差不多的知識。