版權所有：castor_v_pollux 原作　提交時間：06:55:16 10月12日

第五章 曙光

三

上次我們布置了一道練習題，現在我們一起來把它的答案求出來。

┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ？
┗ ┛ ┗ ┛

如果你還記得我們那個公共巴士的比喻，那麼乘號左邊的矩陣I代表了我們的巴士I號線的收費表，乘號右邊的矩陣II代表了II號線的收費表。I是一個2×2的表格，II也是一個2×2的表格，我們有理由相信，它們的乘積也應該是類似的形式，也是一個2×2的表格。

┏ ┓ ┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃ ┃ a b ┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ┃ c d ┃
┗ ┛ ┗ ┛ ┗ ┛

但是，那答案到底是什麼？我們該怎麼求出abcd這四個未知數？更重要的是，I×II的意義是什麼呢？

海森堡說，I×II，表示你先乘搭巴士I號線，然後轉乘了II號線。答案中的a是什麼呢？a處在第一行第一列，它也必定表示從A地出發到A地下車的某種收費情況。海森堡說，a，其實就是說，你搭乘I號線從A地出發，期間轉乘II號線，最後又回到A地下車。因為是乘法，所以它表示“I號線收費”和“II號線收費”的乘積。但是，情況還不是那麼簡單，因為我們的路線可能不止有一種，a實際代表的是所有收費情況的“總和”。

如果這不好理解，那麼我們乾脆把題目做出來。答案中的a，正如我們已經說明了的，表示我搭I號線從A地出發，然後轉乘II號線，又回到A地下車的收費情況的總和。那麼，我們如何具體地做到這一點呢？有兩種方法：第一種，我們可以乘搭I號線從A地到B地，然後在B地轉乘II號線，再從B地回到A地。此外，還有一種辦法，就是我們在A地上了I號線，隨即在原地下車。然後還是在A地再上II號線，同樣在原地下車。這雖然聽起來很不明智，但無疑也是一種途徑。那麼，我們答案中的a，其實就是這兩種方法的收費情況的總和。

現在我們看看具體數字應該是多少：第一種方法，我們先乘I號線從A地到B地，車費應該是多少呢？我們還記得海森堡的車費規則，那就看矩陣I橫坐標為A縱坐標為B的那個數字，也就是第一行第二列的那個2，2塊錢。好，隨後我們又從B地轉乘II號線回到了A地，這裡的車費對應於矩陣II第二行第一列的那個4。所以第一種方法的“收費乘積”是2×4＝8。但是，我們提到，還有另一種可能，就是我們在A地原地不動地上了I號線再下來，又上II號線再下來，這同樣符合我們A地出發A地結束的條件。這對應於兩個矩陣第一行第一列的兩個數字的乘積，1×1＝1。那麼，我們的最終答案，a，就等於這兩種可能的疊加，也就是說，a＝2×4＋1×1＝9。因為沒有第三種可能性了。

同樣道理我們來求b。b代表先乘I號線然後轉乘II號線，從A地出發最終抵達B地的收費情況總和。這同樣有兩種辦法可以做到：先在A地上I號線隨即下車，然後從A地坐II號線去B地。收費分別是1塊（矩陣I第一行第一列）和3塊（矩陣II第一行第二列），所以1×3＝3。還有一種辦法就是先乘I號線從A地到B地，收費2塊（矩陣I第一行第二列），然後在B地轉II號線原地上下，收費1塊（矩陣II第二行第二列），所以2×1＝1。所以最終答案：b＝1×3＋2×1＝5。

大家可以先別偷看答案，自己試着求c和d。最後應該是這樣的：c＝3×1＋1×4＝7，d＝3×3＋1×1＝10。所以：

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┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃ ┃ 9 5┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ┃ 7 10┃
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很抱歉讓大家如此痛苦不堪，不過我們的確在學習新的事物。如果你覺得這種乘法十分陌生的話，那麼我們很快就要給你更大的驚奇，但首先我們還是要熟悉這種新的運算規則才是。聖人說，溫故而知新，我們不必為了自己新學到的東西而沾沾自喜，還是鞏固鞏固我們的基礎吧，讓我們把上面這道題目驗算一遍。哦，不要昏倒，不要昏倒，其實沒有那麼乏味，我們可以把乘法的次序倒一倒，現在驗算一遍II×I：

┏ ┓ ┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 3 ┃ ┃ 1 2 ┃ ┃ a b ┃
┃ 4 1 ┃ × ┃ 3 1 ┃ ＝ ┃ c d ┃
┗ ┛ ┗ ┛ ┗ ┛

我知道大家都在唉聲嘆氣，不過我還是堅持，複習功課是有益無害的。我們來看看a是什麼，現在我們是先乘搭II號線，然後轉I號線了，所以我們可以從A地上II號線，然後下來。再上I號線，然後又下來。對應的是1×1。另外，我們可以坐II號線去B地，在B地轉I號線回到A地，所以是3×3＝9。所以a＝1×1＋3×3＝10。

喂，打瞌睡的各位，快醒醒，我們遇到問題了。在我們的驗算里，a＝10，不過我還記得，剛才我們的答案說a＝9。各位把筆記本往回翻幾頁，看看我有沒有記錯？嗯，雖然大家都沒有記筆記，但我還是沒有記錯，剛才我們的a＝2×4＋1×1＝9。看來是我算錯了，我們再算一遍，這次可要打起精神了：a代表A地上車A地下車。所以可能的情況是：我搭II號線在A地上車A地下車（矩陣II第一行第一列），1塊。然後轉I號線同樣在A地上車A地下車（矩陣I第一行第一列），也是1塊。1×1＝1。還有一種可能是，我搭II號線在A地上車B地下車（矩陣II第一行第二列），3塊。然後在B地轉I號線從B地回到A地（矩陣II第二行第一列），3塊。3×3＝9。所以a＝1＋9＝10。

嗯，奇怪，沒錯啊。那麼難道前面算錯了？我們再算一遍，好像也沒錯，前面a＝1＋8＝9。那麼，那麼……誰錯了？哈哈，海森堡錯了，他這次可丟臉了，他發明了一種什麼樣的表格乘法啊，居然導致如此荒唐的結果：I×II ≠ II×I。

我們不妨把結果整個算出來：

┏ ┓
┃ 9 5┃
I×II＝ ┃ 7 10┃
┗ ┛
┏ ┓
┃ 10 5┃
II×I＝ ┃ 7 9┃
┗ ┛

的確，I×II ≠ II×I。這可真讓人惋惜，原來我們還以為這種表格式的運算至少有點創意的，現在看來浪費了大家不少時間，只好說聲抱歉。但是，慢着，海森堡還有話要說，先別為我們死去的腦細胞默哀，它們的死也許不是完全沒有意義的。

大家冷靜點，大家冷靜點，海森堡搖晃着他那漂亮的頭髮說，我們必須學會面對現實。我們已經說過了，物理學，必須從唯一可以被實踐的數據出發，而不是靠想象和常識習慣。我們要學會依賴於數學，而不是日常語言，因為只有數學才具有唯一的意義，才能告訴我們唯一的真實。我們必須認識到這一點：數學怎麼說，我們就得接受什麼。如果數學說I×II ≠ II×I，那麼我們就得這麼認為，哪怕世人用再嘲諷的口氣來譏笑我們，我們也不能改變這一立場。何況，如果仔細審查這裡面的意義，也並沒有太大的荒謬：先搭乘I號線，再轉II號線，這和先搭乘II號線，再轉I號線，導致的結果可能是不同的，有什麼問題嗎？

好吧，有人諷刺地說，那麼牛頓第二定律究竟是F＝ma，還是F＝am呢？

海森堡冷冷地說，牛頓力學是經典體系，我們討論的是量子體系。永遠不要對量子世界的任何奇特性質過分大驚小怪，那會讓你發瘋的。量子的規則，並不一定要受到乘法交換率的束縛。

他無法做更多的口舌之爭了，1925年夏天，他被一場熱病所感染，不得不離開哥廷根，到北海的一個小島赫爾格蘭（Helgoland）去休養。但是他的大腦沒有停滯，在遠離喧囂的小島上，海森堡堅定地沿着這條奇特的表格式道路去探索物理學的未來。而且，他很快就獲得了成功：事實上，只要把矩陣的規則運用到經典的動力學公式里去，把玻爾和索末菲舊的量子條件改造成新的由堅實的矩陣磚塊構造起來的方程，海森堡可以自然而然地推導出量子化的原子能級和輻射頻率。而且這一切都可以順理成章從方程本身解出，不再需要像玻爾的舊模型那樣，強行附加一個不自然的量子條件。海森堡的表格的確管用！數學解釋一切，我們的想象是靠不住的。

雖然，這種古怪的不遵守交換率的矩陣乘法到底意味着什麼，無論對於海森堡，還是當時的所有人來說，都還仍然是一個謎題，但量子力學的基本形式卻已經得到了突破進展。從這時候起，量子論將以一種氣勢磅礴的姿態向前邁進，每一步都那樣雄偉壯麗，激起滔天的巨浪和美麗的浪花。接下來的3年是夢幻般的3年，是物理史上難以想象的3年，理論物理的黃金年代，終於要放射出它最耀眼的光輝，把整個20世紀都裝點得神聖起來。

海森堡後來在寫給好友范德沃登的信中回憶道，當他在那個石頭小島上的時候，有一晚忽然想到體系的總能量應該是一個常數。於是他試着用他那規則來解這個方程以求得振子能量。求解並不容易，他做了一個通宵，但求出來的結果和實驗符合得非常好。於是他爬上一個山崖去看日出，同時感到自己非常幸運。

是的，曙光已經出現，太陽正從海平線上冉冉升起，萬道霞光染紅了海面和空中的雲彩，在天地間流動着奇幻的輝光。在高高的石崖頂上，海森堡面對着壯觀的日出景象，他腳下碧海潮生，一直延伸到無窮無盡的遠方。是的，他知道，this is the moment，他已經作出生命中最重要的突破，而物理學的黎明也終於到來。

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飯後閒話：矩陣

我們已經看到，海森堡發明了這種奇特的表格，I×II ≠ II×I，連他自己都沒把握確定這是個什麼怪物。當他結束養病，回到哥廷根後，就把論文草稿送給老師波恩，讓他評論評論。波恩看到這種表格運算大吃一驚，原來這不是什麼新鮮東西，正是線性代數裡學到的“矩陣”！回溯歷史，這種工具早在1858年就已經由一位劍橋的數學家Arthur Cayley所發明，不過當時不叫“矩陣”而叫做“行列式”（determinant，這個字後來變成了另外一個意思，雖然還是和矩陣關係很緊密）。發明矩陣最初的目的，是簡潔地來求解某些微分方程組（事實上直到今天，大學線性代數課還是主要解決這個問題）。但海森堡對此毫不知情，他實際上不知不覺地“重新發明”了矩陣的概念。波恩和他那精通矩陣運算的助教約爾當隨即在嚴格的數學基礎上發展了海森堡的理論，進一步完善了量子力學，我們很快就要談到。

數學在某種意義上來說總是領先的。Cayley創立矩陣的時候，自然想不到它後來會在量子論的發展中起到關鍵作用。同樣，黎曼創立黎曼幾何的時候，又怎會料到他已經給愛因斯坦和他偉大的相對論提供了最好的工具。

喬治•蓋莫夫在那本受歡迎的老科普書《從一到無窮大》（One, Two, Three…Infinity）里說，目前數學還有一個大分支沒有派上用場（除了智力體操的用處之外），那就是數論。古老的數論領域裡已經有許多難題被解開，比如四色問題，費馬大定理。也有比如著名的哥德巴赫猜想，至今懸而未決。天知道，這些理論和思路是不是在將來會給某個物理或者化學理論開道，打造出一片全新的天地來。