飛越顛峰穿幽谷 ----應用數學大師歐拉

歐拉----人類歷史上最偉大的應用數學家，結合數學與生活的第一人。
在他以前，數學被認為是一種奢侈的頭腦遊戲，數學不能叫牛生產牛奶，數學不能讓小麥生長，數學有什麽用呢？
歐拉用他的一生回答這個問題∶
他用數學設計輪船----創立了波浪動力學、他用數學研究耳朵----了解耳膜與聽覺、他用數學來測量----整合了平面測量學、他用數學算渠道斷面----開啟了應用流體力學、他用數學算保險、精算貨幣----產生了計量經濟學、他用數學算老鷹的飛翔----建立了航空動力學......
今天數學課本函數用f(x)，半徑用r，自然對數用e，總和用（epsilon)......這些符號都是他定的。
世界每一本高等數學書裡都有歐拉微分方程式解，以及"歐拉公式"∶eix=cosx+isinx
十八世紀以來，每一位數學大師都聲稱受到歐拉的影響，每一個數學分支都可以看到歐拉的影子，歐拉的影響力是這樣的大，卻很少人知道歐拉像一支鳥，終生舉著數學與信仰的雙翼在飛翔。

輪船之謎

一七二七年，法國巴黎科學院燈火通明，一批科學家熱烈討論著歐洲科學競賽的一篇作品∶ "這實在是件奇怪的事，一個在神學院裡專攻古希伯來文的學生，竟然會提出一套數學解法----由海浪的運動，計算出一艘大輪船的結構設計？" "更奇怪的是，這個名叫歐拉的年輕人，是來自群山之國瑞士。他自己坦白說他一生沒有看過海，更沒見過輪船，只看過瑞士的泛湖小舟。他這種超強的數學解析能力，實在是百年難得一見。"另一位科學家介紹。經過一番討論，主席裁決∶"如果我們不把科學競賽的首獎頒給他，就是太沒有眼光了。但是以輪船設計獲得首獎的，是一個根本沒有看過輪船的人，這消息如果傳了出去，我們一定會成為笑柄。這樣吧，今年沒有第一名，只有佳作，然後把佳作獎頒發給歐拉。希望這人知難而退，以後不要再給我們製造這種難題了。" 但是，歐拉顯然不大合作，隔年又提出耳朵內的薄膜對於聲波的共振數學，他又沒看過耳朵薄膜。受不了他的洋溢天才，巴黎科學院只好把首獎頒給他。以後的十二年裡，他的數學怪招又連得十二次首獎。

牧師爸爸

一七零七年四月十五日，歐拉生於瑞士的巴塞爾。他的父親是巴塞爾郊外一間小教會的牧師。歐拉從小成績就很好，十四歲進大學。當時的中小學還沒有數學課程，歐拉的父親是位業餘數學家，就親自教歐拉數學。歐拉在神學院遇到一位影響他一生的好老師伯努利。這位法國老師是因為宗教大迫害，基督徒時刻要面臨死亡的威協，舉家逃到信仰自由的瑞士。伯努利說∶"在人類的思考學問里，最接近上帝的，不是神學，而是數學。因為數學家追求最高的精確、最合理的邏輯，而且會發現這個奇妙的宇宙，竟是經得起數學家一再推敲考證的物件......學數學的人會遇到一個強烈吸引他們的核心，使他們象拋物線般地被吸引回來，以面對宇宙里最基本的存在。"伯努利的家庭出了好多數學教授，又都是基督徒，所以被稱為數學界的"神聖支派"。伯努利的數學課很特別∶不教任何數學的內容，他只給問題，而且是非常難的問題。學生必須自己去看書找資料，或自己想辦法。下星期學生交答案，老師討論正確答案里，再給新的題目。在伯努利的課程里，數學是沒有課本的。以歐拉的數學能力，要應付這種教學方式，仍然覺得"非常吃力，只有加緊勤奮用功"，才能趕上老師沒有範圍的教法。
三年下來，仍留下的學生只剩下歐拉與老師的兒子但以理.伯努利，這兩個同學成為一生的好朋友。但以理.伯努利在流體動力學領域中非常有名，是每一個念土木工程、化學工程的學生所知道的。但以理.伯努利又被稱為"數學物理之父"。

數學啊!迷人

一七二四年，勤奮的天才歐拉，取得巴塞爾大學神學碩士學位。歐拉的父親希望兒子回到教會擔任傳道人。當時整個歐洲大陸，沒有需要數學為專職的工作，以天下之大，竟沒有歐拉的容身之處。有一天，伯努利老師去拜訪歐拉的父親，因為"歐拉是天生的數學家"，老師看出歐拉會成為數學界最明亮的一顆彗星，"但是他受的神學教育怎麽辦？"父親問道。伯努利回答∶"數學不會抖落他身上任何的敬虔信仰，而且你看著吧，有一天他會成為數學界的神學家!"
歐拉繼續留在巴塞爾大學。當時巴塞爾是醫學與藥學的重鎮，興趣廣泛的歐拉又去旁聽生理醫學的課。他的數學能力碰上任何學科，就會象植物吸水一樣，重新變化產生一個嶄新的東西。他提出耳膜結構與聲波的共振，而且用數學去證明，這是醫學教授辦不到的事，數學碰到任何學科，就會帶來革命性的改革，這就是應用數學迷人的地方。

血腥年代

一七二七年俄國在女皇凱撒琳一世的支援下，成立科學院，向歐洲招募桀出的科學家到俄國任教。歐拉也被聘請前往。誰知等他到達俄國首都聖彼得堡時，迎接他的不是科學教育大臣，而是秘密警察。原來凱撒琳一世駕崩，俄國進入長達二十年的血腥內戰，新任沙皇殘殺異已，貴族之間爭權奪利。歐拉期待的一批等著他教育的學生，完全消失。他不斷看到有人被流放到西伯利亞，異議人士被掛在絞繩上。他原來被聘任的職位沒有了，淪落到海軍部當一名技術員。當時有很多人逃離俄國，俄國人也極端敵視外國人，歐拉卻留了下來。歷史上並沒有任何線索可供我們判斷他初期選擇留下來的原因，但是有一件事情是可確定的∶歐拉在秘密警察的監視下，在聖彼得堡持續研究他的數學達十五年之久。
歐拉在這段時間寫成的作品，日後由瑞士政府集結成歐拉全集，足足有一百巨冊。這十五年的苦難環境，反而為他隔絕出一個沒有社交、沒有會議、沒有世俗應酬的讀書天堂，造就他成為人類歷史上最多產的數學家，��博得"數學界之棟梁"的美譽。歐拉後來寫道∶"數學家就是藝術家，像是米開朗基羅躺在教堂的天花板下，以無盡的熱情，一筆、一筆地描繪出最精確的圖畫。......什麽是數學？數學是上帝花園中精選的百合花。" 一七三三年，歐拉與畫家格塞爾的女兒凱瑟琳結婚。格塞爾也是瑞士人，與歐拉同樣是身陷鐵幕的異鄉人。歐拉因為看不見和平的契機，而且他的朋友已大都逃出俄國，所以他婚後終於決定要逃亡。沒想到行動前發現妻子懷孕了，愛家的歐拉只好暫緩逃亡計劃，隔年逃亡前又發現妻子懷孕，只好再度留下來。凱瑟琳總共為他生了十三個孩子呢!

天才老爹

歐拉最有趣的是可以一面抱小孩，一面跟大孩子說故事，還一面思考他的數學。他的八百多篇數學研究報告，有好多篇原稿是寫在孩子吃飯的圍兜上、給孩子擦嘴巴的紙巾上......他這種隨時隨處可以解數學的能力，與他優秀的記憶力有關、歐拉的長子後來回憶道∶ "父親為我們念書，我們覺得太好聽了，請父親再念一遍。我仍然記得，父親是把書本合起來，從書本的第一行講到最後一行......父親還背了許多數學公式與複雜的數學計算。在父親的身上，我看到數學不只需要理解，也需要記憶。" 歐拉天性喜歡小孩，他為小孩設計了許多數學遊戲；每天晚上把兒女聚在一起，對他們講一篇數學，再為他們一一禱告。
一七四零年，俄國殘暴的沙皇死後，俄國逐漸恢復和平。歐拉的數學名聲已經傳遍歐陸，普魯士國王腓特烈大帝特聘他為宮廷數學家，併兼任公主安哈特----笛所的老師。
幾年後他寫了一本非常著名的青少年書籍《寫給一個德國公主的信》，論到物理、數學、文學與信仰。書中寫道∶ "任何抽象的思考，或是一般性的想法，離開文字都無法存在。文字的存在不只是為了人與人溝通，也是為了幫助人對真理有更深的耕耘。有人聲稱真理來自證據，我卻認為證據沒有文字化，人還是不認識真理。所以在新約聖經約翰福音的開始，第一句話就是'太初有道'，這是一開始，上帝就將他自己，以文字的方式來表達那最核心的真理。"

負數存在嗎？

歐拉對信仰的持守，使得德國高等批判主義分子對他攻擊愈來愈厲害，腓特烈大帝對他也愈來愈疏遠。當時的哲學家流行一種自命不凡的聰明嘴臉，純樸溫和的歐拉顯然與他們格格不入。一七六六年著名的哲學家休謨來到德國。他的無神論受到盛大的歡迎，當時起來與他力辯的，竟是那平常不太愛表現的歐拉。歐拉用數學來辯明真理∶ "你知道什麽是i嗎？開根號的-1，既不等於0，也不大於0，更不小於0。那你說這種東西，在自然界不存在的東西，所以i根本沒有意義，所以數學裡不該有i! 但是你錯了。如果沒有開根號的負數，就不可能把12分成兩部分，使其相乘等於40。這兩部分就是6+i 與6-i 。有太多自然界找不著的，卻深深存在我們的意識里。再舉一個例子∶0減去2等於多少？等於-2。在自然界裡你能找到-2嗎？我一生研究數學，為數學著迷，數學給我最佳邏輯，但是我至今不懂什麽是-2的基本意義。好吧，你說無法證明存在的就不存在!但是我告訴你，數學如果沒有-2，我們的數學就無法計算。如果-2不存在，i不存在，數學就不存在。因此，即使無法用物質去證明上帝的存在，上帝仍然存在人的心裡。"
因為這一場辨論，歐拉失去了他的工作。一七六六年歐拉合家返回聖彼得堡。不久，著名的哲學家狄德羅到俄國來宣傳無神論，他編過法國百科全書，號稱自己無所不知，與他在宮廷辨論的又是歐拉。歐拉只用一句話，就封住這位哲學家的口。歐拉說∶ "先生，因為(a+b)n/n=x，所以上帝存在，對不對？" 狄德羅答不出來，羞愧地離開俄國。無神論的錯誤，是用一錯誤的前提去證明上帝是否存在----如同用無窮多組可能的(a+b)n/n=x，去證明惟一存在的上帝。

眼盲心不盲

歐拉因為讀書太用功了，在二十九歲時一眼失去視力，六十歲時另一眼也失去視力，成為全盲。瞎眼的歐拉繼續演算他的數學。一七七一年聖彼得堡大火，歐拉的家與財產付之一炬。當時，瞎眼的歐拉沒有辦法逃出來，有一個僕人沖入火場把他背出來。他的學生聞訊立刻趕去，把老師一生的作品搶救出來。一七七六年陪他歷經一生患難的妻子辭世，歐拉逝於一七八三年九月十八日，遺言∶"只有對上帝的信心，陪我走過這些苦難的日子。"
伯努利說得對，歐拉不只是數學家，也是一位神學家。

本文采至張文亮教授的《我看到大山小山在跳舞》科學大師的求學 、戀愛與理念之(三)。