讀這篇文章的感受是：群星璀璨，心馳神往……
理工科背景的人，你們是不是和我一樣，讀
起來常常會啞然失笑？後面的評論尤其有意
思。
以下是轉貼。原文題目是“我心中的英雄們”，
也叫“哥廷根的傳說”。
Heroes in My Heart(序)
發信站:北大未名站(2002.4.6--2002.6.10),轉信
發信人:ukim(我沒有理想)
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To Music
For the Encouragement and Smiles
She Gave Me
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序
廢話幾句。
多年以前，我有一個很宏偉的計劃，打算寫
一本厚厚的書。這本書有三部，第一部寫那
些數學牛人們的傳奇動人荒誕不經的軼事，
第二部充滿着歷史上最最經典的定理最最美
妙的證明，第三部去真實的紀錄北大數學的
這群爛人，寫他們那髒亂的宿舍和蕪雜的生
活。這一直是一個理想，直到我動手寫這些
文字的時候，我知道，這將永遠是一個美好
的夢。所以，這裡只是那個計劃的一小部份，
講述的是那些虔誠的人做過的虔誠的事。
第一次因為數學感動，是聽到大人們講華羅
庚先生的故事，不知道那時候多大，隱約記
得他們說華先生去蘇聯算一個衛星的東西，
怕他們把自己的算法偷去，於是所有的東西
都是心算。故事的真實性自然不可信，不過
這很讓小孩子神往。我要講述的也是這麼一
些事情，很多都是高中和大一大二讀過的，
那是一段美妙的時光。美妙的東西希望大家
一起分享，與人樂樂。
最後，按照寫序的一般格式，我來感謝一下
應該感謝的人們。感謝knots陪我一起扭傷腳
腕一起看遍好萊塢的美女，感謝hyson和我
一起用兩塊八的牛奶煮麵，感謝alpha和我兩
次同居在那簡陋的破屋裡凍得瑟瑟發抖，感
謝doudoulf那銀玲般的笑聲，感謝justinlee,
mashimaro,aixuexi,transferrer和luk在每一個
漆黑的夜晚大家共同進行着富有想象力的意
淫。是他們的存在，回憶這個詞才有了色彩。
ukim
2002.4.1
Bernoulli家族(1)
Euler停止了生命，也就停止了計算。
──deCondorcet
這是一個生產數學家和物理學家的部落，有
着十幾位優秀的科學家都擁有這個令人驕傲
的姓氏。
JohnBernoulli在1696年把最速降線問題在一
個叫做《教師學報》的雜誌上面提出，公
開挑戰主要是針對他的哥哥Jacobi.Bernoulli,
這兩個人在學術讓一直相互不忿，據說當
年John求懸鏈線的方程，熬了一夜就搞定了，
Jacobi做了一年還認為懸鏈線應該是拋物線，
實在是很沒面子。那個雜誌好像是Leibniz搞
得，很牛，歐洲的牛人們都來做這個東西。
到最後，Jhon收的了5份答案，有他自己的，
Leibniz的,還有一個L.Hospital侯爵的（我們
比較喜歡的那個L.Hospital法則好像是他僱人
做的，是個有錢人）然後是他哥哥Jacobi的，
最後一份是蓋着英國郵戳的，必然是Newton
的，John自己說“我從它的利爪上認出了這
頭獅子．”據說當年Newton從造幣廠回去，
看到了Bernoulli的題，感覺渾身不爽，熬夜
到凌晨4點，就搞定了。這麼多解答當中，
John的應該是最漂亮的，類比了Fermat原理，
用光學一下做了出來。但是從影響來說，
Jacobi的做法真正體現了變分思想。
Bernoulli一家在歐洲享有盛譽，有一個傳說，
講的是DanielBernoulli（他是JohnBernoulli的
兒子）有一次正在做穿過歐洲的旅行，他與
一個陌生人聊天，他很謙虛的自我介紹：
“我是DanielBernoullis。"那個人當時就怒了，
說：“我是還是IssacNewton呢。”Daniel從
此之後在很多的場合深情的回憶起這一次經
歷把他當作他曾經聽過的最衷心的讚揚。
Bernoulli家族（2）
John、Jacobi這兩個Bernoulli人，都算不出
來自然數倒數的平方和這個級數，Euler從
他老師John那裡知道的，並且給出了π^2/6
這個正確的答案。
法國有一個哲學家，叫做DenisDiderot，中
文的名字叫做狄德羅，是個無神論者，這個
讓葉卡捷琳娜女皇不爽，於是他請Euler來教
育一下Diderot，其實Euler本來是弄神學的，
他老爸就是的，後來是好幾個叫Bernoulli的
去勸他父親，才讓Euler做數學了。Euler邀
請Diderot來了皇宮，他這次的工作是證明上
帝的存在性，然後，在眾人面前說：“先
生，(a+bn)/n=x，因此上帝存在；請回答!”
Diderot自然不懂代數，於是被羞辱，顯然
他面對的是分拮釵按的數學家，他不得不
離開聖彼得堡，回到了巴黎……
四色定理
證明是一個偶像，數學家在這個偶像前折磨自己。
──A.Eddington
一次拓撲課，Minkowski向學生們自負的宣
稱：“這個定理沒有證明的最要的原因是至
今只有一些三流的數學家在這上面花過時間。
下面我就來證明它。”…….這節課結束的時
候，沒有證完，到下一次課的時候，Minkowski
繼續證明，一直幾個星期過去了……一個陰
霾的早上，Minkowski跨入教室，那時候，恰
好一道閃電划過長空，雷聲震耳，Minkowski
很嚴肅的說：“上天被我的驕傲激怒了，我
的證明是不完全的……"
1942年的時候，Lefschetz去Havard做了個報
告，Birkhoff是他的好朋友，講座結束之後，
就問他最近在Princeton有沒有什麼有意思的
東西。Lefschetz說有一個人剛剛證明了四色
猜想。Birkhoff嚴重的不相信，說要是這是真
的，就用手和膝蓋，直接爬到Princeton的
FineHall去。
做數論的人(1)
從實用的觀點來判斷，我的數學生涯的價值等於零。
──Hardy
LevLandau這位俄國最偉大的物理學家驚嘆
道：“為什麼素數要相加呢？素數是用來相
乘而不是相加的。”據說這是Landau看了
Goldbach(哥德巴赫)猜想之後的感覺。術業
有專攻呀......
Graham說：“我知道一數論學家，他僅在素
數的日子和妻子同房：在月初，這是挺不錯
的，2，3，5，7；但是到月終的日子就顯得
難過了，先是素數變稀，19，23，然後是一
個大的間隙，一下子就蹦到了29，……”
做數論的人(2)
由於Fermat大定理的名聲，在NewYork的地鐵
車站出現了亂塗在牆上的話：
x^n+y^n=z^n沒有解
對此我已經發現了一種真正美妙的證明，可惜
我現在沒時間寫出來，因為我的火車正在開來。
Hilbert曾有一個學生，給了他一篇論文來證明
Riemann猜想，儘管其中有個無法挽回的錯誤，
Hilbert還是被深深的吸引了。第二年，這個學
生不知道怎麼回事死了，Hilbert要求在葬禮上
做一個演說。那天，風雨瑟瑟，這個學生的家
屬們哀不勝收。Hilbert開始致詞，首先指出，
這樣的天才這麼早離開我們實在是痛惜呀，眾
人同感，哭得越來越凶。接下來，Hilbert說，
儘管這個人的證明有錯，但是如果按照這條路
走，應該有可能證明Riemann猜想，再接下來，
Hilbert繼續熱烈的冒雨講道：“事實上，讓我
們考慮一個單變量的複函數.....”眾人皆倒。
做數論的人（3）
有一個人叫做PaulWolfskehl,大學讀過數學，
痴狂的迷戀一個漂亮的女孩子，令他沮喪
的是他被無數次被拒絕。感到無所依靠，於
是定下了自殺的日子，決定在午夜鐘聲響起
的時候，告別這個世界，再也不理會塵世間
的事。Wolfskehl在剩下的日子裡依然努力的
工作，當然不是數學，而是一些商業的東西，
最後一天，他寫了遺囑，並且給他所有的朋
友親戚寫了信。由於他的效率比較高的緣故，
在午夜之前，他就搞定了所有的事情，剩下
的幾個小時，他就跑到了圖書館，隨便翻起
了數學書。很快,被Kummer解釋Cauchy等前
人做Fermat大定理為什麼不行的一篇論文吸
引住了。那是一篇偉大的論文，適合要自殺
的數學家最後的時刻閱讀。Wolfskehl竟然發
現了Kummer的一個bug，一直到黎明的時候，
他做出了這個證明。他自己狂驕傲不止，於
是一切皆成煙雲……這樣他重新立了遺囑，
把他財產的一大部份設為一個獎，講給第一
個證明Fermat定理的人10萬馬克……這就是
Wolfskehl獎的來歷。
Gottingen的傳說
Gottingen市政廳底層的牆上大言不諱的鐫刻
著：“Gottingen以外沒有生活。”
1。
1854年，Riemann為了在Gottingen獲得一個
講師的席位，發表了他劃時代的關於幾何學
的演說。由於當時聽這個演說的人很多是學
校里的行政官員，對於數學根本就不懂，
Riemann在演說中僅僅只用了一個數學公式。
Weber的回憶說，當演說結束後，Gauss懷着
少見的表情激動的稱讚Riemann的想法。如果
讀讀Riemann的講稿，就會發現那幾乎就是哲
學，儘管這樣子，當時的觀眾中只有一個人
可以理解Riemann,那就是Gauss。而整個數學
界,為了完善消化Riemann的這些想法，卻話了
將近100年的時間。
有人說Riemann的著作，更接近於哲學而不是
數學，甚至在一開始，歐洲的很多數學家認為
Riemann的東西是一種家庭出版物，更接近物
理學家的看法，與數學家沒有關係。一次，
Helmholz和Weiestrass一起外出度假，Weiestrass
隨身帶了一篇Riemann的博士論文，以便能在
一個山清水秀的環境裡靜靜的研究這篇他認為
是複雜又宏偉的工作。但是Helmholz大惑不解，
他認為，Riemann的文章再明白不過了，為什
麼Weiestrass作為數學家要這麼化功夫呢？
2。
Klein上了年紀之後，在Gottingen的地位幾乎就
和神一般，大家對之敬畏有加。那裡流行一個
關於Klein的笑話，說Gottingen有兩種數學家，
一種數學家做他們自己要做但不是Klein要他們
做的事；另一類數學家做Klein要做但不是他們
自己要做的事。這樣Klein不屬於第一類，也不
屬於第二類，於是Klein不是數學家。
3．
Wiener去Gottingen拜訪這位老人家，他在門口
見到女管家時，問道教授先生在麼？女管家訓
斥道，樞密官先生在家。一個樞密官在德國科
學界的地位就相當於一個被封爵的數學家在英
國科學界的地位，譬如說Newton。Wiener見到
Klein的時候，感覺就像去拜佛，後者高高在上，
Wiener的描述是“對他而言時間已經變得不再
有任何意義”。
4．
關於Klein還有一個故事，當初王詩Œk老師請了
一個法國的拓撲學家來北大做報告，他講的東
西和雙曲幾何有些關係，半路上，突然講到了
Klein和Poincare的故事，說是Klein和Poincare
都在研究自守函數什麼的，對於2維的的情況，
Poincare把自己的結果用Fuchs的名字來命名，
因為這個人的東西他曾經看過，並且有很大的
影響，Klein感到特別的不爽，他也得到了這樣
的結果然而Fuchs本人對此卻一無所知，如此冠
名，他自然覺的很不妥。後來，他和Poincare
分別做3維的情況，無奈自己不是Poincare那樣
的天才，用功過度，體力不支，身體都垮了，
從此結束了自己創造性的數學生涯。Poincare
自己也不在乎這麼東西，於是把3維自己得到
的群命名為Klein群。
當時王老師也特別想將這個故事，自己躊躇了
半天，後來說這個東西是法國人很有面子的一
件事情，還是讓這個法國人講了。
開始講D.Hilbert吧
5．
DavidHilbert並不是Gottingen畢業的。19世紀80
年代，Berlin大學的博士論文答辯，需要2名學
生作為對手，他們向你不停的發問。Hilbert的一
個對手是EmilWiechert(埃米爾.魏恰特),後來是
最著名的地震學家。那時候，德國（也許叫做
普魯士）的大學教授特別少。Berlin之後3名數
學教授，一般的大學至多2個。
Hilbert的博士宣誓儀式，校長主持：“我莊嚴
的要你回答，宣誓是否能使你用真誠的良心承
擔如下的許諾和保證：你講勇敢的去捍衛真正
的科學，將其開拓，為之添彩；既不為厚祿所
驅，也不為虛名所趕，只求上帝真理的神輝普
照大地，發揚光大。”
歐很想知道現在北大的授予博士儀式是不是也
有類似的話
6．
Hilbert上了年紀的時候，一次聽到一群年輕人正
在談論一個他知道數學家。那時候，Minkowski
這些他很熟的人，有很多都已經故去。他特別
關心正在被談論的這個人，當大家說完這個人
有幾個孩子之類的事情之後，他就問說：“...
他還‘存在’麼.…….”
7．
一次在Hilbert的討論班上，一個年輕人報告，其
中用了一個很漂亮的定理，Hilbert說:“這真是一
個妙不可言（wunderbaschon）的定理呀，是誰
發現的？”那個年輕人茫然的站了很久，對
Hilbert說：“是你.……”。
8．
Gottingen廣為流傳的一個關於Minkowski的故事，
說是他在街上散步，發現一個年輕人正在默默想
着某個很重要的問題，於是Minkowski輕輕的拍拍
他的肩膀，告訴他“收斂是肯定的”，年輕人感
激而笑。
9．
H.Weyl剛去Gottingen的時候,被拒之“圈”外。所
謂的圈，是指Toeplitz,Schmidt,Hecke和Haar等一
群年輕人，大家一起談論數學物理，很有貴族的
感覺。一次，大家在等待Hilbert來上課，Toeplitz
指着遠處的Weyl說：“看那邊的那個傢伙，他就
是Weyl先生。他也是那種考慮數學的人。”就這
樣子，Weyl就不屬於“圈”這個集合了。這個故
事是Courant講的，Haar當時是Hilbert的助手，
Gottingen當時的人們無一不認為他將是那種不朽
的數學家。但是事實證明，Weyl的偉大無人能比，
儘管Haar在測度論上貢獻突出，但是Courant還是
說他和Weyl“根本沒法相比”。
10．
vonKarman（馮.卡門）通過Haar的介紹來到Gottingen,
等到Haar去了匈牙利之後，他很快成為“圈”內
的領袖。圈外人Weyl再一次證明了他的優秀，他
和Karman同時愛上了才貌雙全的一個女孩，並且
展開了一場競爭。最終圈內人都感到特別的沮喪，
因為那個女孩子選擇了Weyl。
Gottingen講得太多了吧。先停幾次，多講幾
件爛事然後再講hiahia
先介紹一個人，L.V.Ahlfors,和另一個美國的
數學家共同分享了第一屆的Feilds獎。歐知
道他的一部份工作，就是展示給大家複分析
和雙曲幾何之間的深刻聯繫，把曲率之類的
幾何概念引入了複分析，給出了Schwarz引
理的幾何上的漂亮解釋。他還在共形映射，
Riemann曲面領域都是貢獻非凡。
下面是一個很傳奇的事情，歐希望那些認為
數學沒有“用”的看看數學家是如何認為數
學有用的。hehe
L.V.Ahlfors說這些話的時候，正是二戰受封
鎖的時候：“Feilds獎章給了我一個很實在
的好處，當被允許從芬蘭去瑞典的時候，
我想搭火車去見一下我的妻子，可是身上只
有10元錢。我翻出了Fields獎章，把它拿到
當鋪當了，（！！！！）從而有了足夠的路
費……我確信那是唯一一個在當鋪呆過的
Feilds獎章……”
在講幾個小事情，都是蠻有意思的那種，明
天繼續Gottingen
這一個是因果循環的
Hilbert寫的第一篇關於Dirichlet原理的文章，
希望Fredholm能夠欣賞，但是Fredhold根本
就沒看；F.Riesz寫了很多文章，希望Hilbert
能夠欣賞，但是Hilbert根本就沒看；M.Riesz
寫了很多文章，希望F.Riesz能夠欣賞，但是
F.Riesz根本就沒看……
再來一個蘇聯大牛的
39年的時候，Kolmogorov決定在冰水中游泳，
結果以住院告終，醫生一致認為他差點點死
掉；但是，70歲的時候，突然決定到莫斯科
河裡游泳，仍然是冰水，這一次卻沒有事情。
Gottingen的傳說
開始講一下EdmundLandau的故事。
11．
E.Landau是後來的Gottingen的數學系系主任，
此人不僅解析數論超強，而且超級有錢。曾
有人問他怎麼能在Gottingen找到他，他很輕
描淡寫的說：“這個沒有任何困難，它是城
里最好的那座房子。”
12．
Gottingen1909-1934年的數學系主任是Edmund
Landau。Landau的工作習慣很奇怪，用6個小
時工作，6個小時休息，如此交替。他收到過
無窮多關於證明了Fermat大定理的信件，後來
實在沒有精力處理，就印了一批卡片，樣子大
概是這個樣子的
---------------------------------------------------------
親愛的_____
謝謝您寄來的關於Fermat大定理的證明。
第一個錯誤在
______頁______行
這使得證明無效。
E.M.Landau
---------------------------------------------------------
儘管有很多的稿件都退了，據說剩下的還有
3米多高。
13．
E.Landau是比較自大的那種人，根本看不起
物理化學，包括應用數學,他把任何和數學
的應用有關的東西貶為“潤滑油”。一次
Steinhaus的博士考試需要一個天文學家的
提問。Landau似乎很關心，就問Steinhaus
都被問了什麼問題，當他知道是有關3體問
題的微分方程的時候，大聲的說：“啊，
如此說來，他知道這個.……”
14．
A.Rosenthal曾經和Landau住一個房間。一天，
Landau回到房間向Rosenthal抱怨老年的
Dedekind和他絮叨了一下午的廢話，Dedekind
狠狠的抱怨當年Gauss對他不公平，在他的博
士學位考試時，問了一些特別難的問題。
兩個間接的和Gottingen的人有關係的事情
Dehn是Hilbert最得意的弟子之一，曾經率先
解決了一個Hilbert問題。
15．
MaxDehn離開Gottingen躲避納粹追捕的時候，
經過蘇聯，換火車的時候，在海參崴逗留了
一陣，閒來無事去了當地的圖書館，這裡的
數學書僅僅占一個架子，全部都是Springer-
Verlag的黃皮書。
16．
Poincare也曾去Gottingen演講，順便攻擊了一
下Cantor的集合論，Zermelo當時恰好證明的
每個集合都可以良序化，Poincare演講的時候
他恰好坐在靠近Poincare腳邊的位子上，然而
Poincare並不認識Zermelo，他大喊道：“
Zermelo那個幾乎獨創的證明也應該徹底的毀
掉，扔到窗外去！”Zermelo本來就性情古怪
暴躁，那天更是絕望盛怒。Courant甚至認為
Zermelo一定會在那天吃正餐的時候殺死Poincare。
17.
Caratheodory是希臘的一個富人子弟，後來
在測度等很多方面有着重要的貢獻，北大圖
書館還有他的一本講複變函數的書，非常的
幾何化，特別優美。他當初是一個工程師，
26歲突然放棄了這樣一個有前途的職業來學
習數學，眾人很不理解，他說：“通過不受
束縛的專心的數學研究，我的生活會變得更
有意義，我無法抗拒這樣的誘惑。”他選擇
的學校是Gottingen.
18.
W.F.Osgood是原來Havard的數學教授，來中
國講過課，我這裡還有他在中國的講稿:-)。
他也是Gottingen畢業的，娶了一德國姑娘，
在美國保持着德國的傳統。大概是在Gotting
en受的影響太大，Osgood做事都模仿F.Klein。
他留着歐洲式的頭髮，抽煙的時候不停的用
小刀戳雪茄，一直抽到發苦的煙蒂頭。
從明天開始，再也不說Gottingen了
19.
由於納粹對猶太人採取的政策，很多數學家
都離開了Gottingen。一次納粹的教育部長問
Hilbert說Gottingen的數學現在怎麼樣了，
Hilbert說：“Gottingen的數學，確實，這兒
什麼都沒有了。”Gottingen從那時開始一蹶
不振。
20.
這一個幾乎和Gottingen沒有什麼關係，很多
數學家都是這個樣子，開始的時候自己的工
作的不到承認的，譬如說S.Lie當初的李群，
Cantor當初的集合論，等等。
Grassmann最初是一個預科學校的教員，盡
管那個時候，他就做出了反交換代數這一大
堆重要的東西，但是那個時代數學家從來不
曾重視他的成果。Grassmann自己不的不放
棄數學這個沒有前途的職業，化了不少功夫
在印度的梵文，把一個叫做Rig-Veda的印度
古經譯成了德文。所以Grassmann在當時的
語言界受到了更多的尊重。
在Gottingen的圖書館裡有一本Grassmann寫
的維數論，標題頁上面用鉛筆寫着Minkowski
的名字，序言後的腳註是：“書付印時作者
已去世。”Minkowski用幾行字，清楚的表達
了Grassmann的成就：“新版本將比三十多
年前收到更多的尊重。”
開始講述Einstein和他的廣義相對論
作為從Gottingen的故事到其他的故事的一個過渡
選一句永遠讓我心馳神往的話
關於這個宇宙最讓人難以理解的地方就是她
竟然是可以被理解的。
──AlbertEinstein
1．
Einstein構思廣義相對論的時候，儘管他的數
學家朋友教了他很多Riemann幾何，他的數學
還是不盡如人意。後來，他去過一次Gottingen,
給Hilbert等很多數學家做過幾次報告，他走不
久，Hilbert就算出來了那個著名的場方程，
Hilbert的數學當然比Einstein好很多。不久，
Einstein也得出來了，有人建議Hilbert考慮這
個東西的署名權問題，Hilbert很坦誠的說：“
Gottingen馬路上的每一個孩子，都比Einstein
更懂得四維幾何，但是，儘管如此，發明相
對論的仍然是Einstein而不是數學家。”
這篇文章是歐連載的第21篇
獻給歐的室友mashimaro
他剛剛在這個世界上混跡了21個年頭
今天是他的22歲生日
祝願他和fayejay兩個人永遠快樂開心
說兩個歐聽來的故事，講的是這個世界上最
漂亮的一套理論：廣義相對論
據說，Einstein的場方程的第一個球對稱的解，
也就是Schwarzschild解，是同名的這個人，
在一戰的戰壕里給出的。Schwarzschild是
Gottingen的天文學的教授。
Edditnton是一個偉大的天文物理學家，下面
這個故事是講他如何吹牛的。
AlbertEinstein的廣義相對論發表沒有多久，
有記者去採訪Eddington，說聽說世界上只有
三個人懂得這套高深的理論，不知這三個人
都是誰？Eddington低頭沉思，很久沒有回答。
那個記者忍不住又問了一遍，Eddington說：
“我正在想誰是第三個人……”
謝謝那些每天都來讀我的文章的人
這篇送給我自己了
希望那些偉大的人們在天有靈保佑我吧
這個故事是一個gg告訴我的：-），還是講
Einstein不過沒有提到很地道的數學家
似乎每一個偉大的人物都以和Einstein交談
過感到無比的光榮。楊振寧提到他當初見
Einstein的時候，過於激動，以至於事後根
本不知道自己說過什麼Einstein又說過什麼
。LevLandau，蘇聯最偉大的那個物理學家，
就說自己當年參加某會議的時候，有幸和
Einstein說過幾句話，而有某個認識Landau
的人說Landau純屬幻想，當時此人和Landau
一起，坐在那次開會的大廳的最後幾排，連
聽都聽不清，根本不可能談話。可見Landau
對Einstein的景仰程度。
講幾個Einstein和數學家的事情
Einstein描述廣義相對論，用的數學就是彎曲
空間上的幾何學，意大利的數學家Levi-Civita
在這種幾何學上做出了突出的貢獻。所以，
有人問Einstein他最喜歡意大利的什麼，他回
答是意大利的細條實心面和Levi-Civita。
Einstein是Minkowski的學生，曠了無窮多的課，
至於多年以後，Minkowski知道了Einstein的理
論的時候，感嘆道：“噢，Einstein,總是不來
上課──我真的想不到他能有這樣的作為。”
一次，P.Halmos和妻子遇到了Einstein和他的
助手，Einstein很想知道“她”是誰，助手就
說是Halmos的妻子，然後Einstein又問Halmos
是誰……Halmos最沒有面子的一次。
開始寫畢業論文了
先寫一個和論文有關係的東東
A.Coble是上個世紀美國的院士，做代數幾何，
一度很有影響。據稱，他有無窮多個博士論
文的題目：當你證明了一個2維的情況的時候，
他叫下一個博士生去證明3維的情況，然後叫
下下個博士生去做4維的。後來有個叫Gerald
Huff的博士，不但做了5維的情況，而且對一
般的n也解決了。這就讓Coble的未來的無窮
個博士無所事事了。Coble很怒。
-----------------------
講完了Einstein,繼續JohnvonNeumann(馮.諾伊
曼）應該是符合道理的，這個造計算機的數
學家。
當我們每次用電腦Game的時候,就應該對
Neumann示以最崇高的敬意。
Neumann的就業態度
vonNeumann移居美國的動機，很有特別的
地方。他用了一種自己認為合理的方法，發
現在德國將來的3年中，教授的職位的期望
值是3，而候補的人數期望為40，這是一個
不理想的就業前景，所以到美國去勢在必行。
這就是他的根據，此時並沒有涉及到政治的
形勢。
阿基米德比荷馬更有想象力。
──伏爾泰
繼續馮.諾伊曼的表演
vonNeumann曾經碰到別人問他一個估計中國
小學生都很熟的問題，就是兩個人相向而行，
中間有一隻狗跑來跑去，問兩個人相遇之後，
狗走了多少的這種。應該先求出相遇的時間，
再乘狗的速度。如果沒有什麼記錯的話，小
時候聽說過蘇步青先生在德國的一個什麼公
共汽車上，就有人問他這個問題，他老人家
當然不會感到有什麼困難了。vonNeumann也
是瞬間給出了答案，提問的人很失望，說你
以前一定聽說過這個訣竅吧，他指的是上面
的這個做法。vonNeumann說：“什麼訣竅？
我所做的就是把狗每次跑得都算出來，然後
算出那個無窮的級數。”……
Banach在1927年參加一個數學的聚會的時候，
他夥同眾多數學家，一起用伏特加灌Neumann，
最終Neumann不勝酒力，去了廁所，估計是嘔
吐。但是Bananch回憶道，當他回來繼續討論
數學的時候，絲毫沒有打斷他的思路。
最後兩個關於馮.諾伊曼的故事
祝大家五一節愉快
vonNuemann的年紀比Ulam要大一些，不過兩
個人是最好的朋友，經常在一起談論女人。
包括他們坐船旅行，除了數學之外，就是旁
邊的美女，每次Nuemann就會評論道：“她
們並非完美的。”他們一次在一個咖啡館裡
吃東西，一個女士優雅的走過，Neumann認出
她來，並和她交談了幾句，他告訴Ulam這是他
的一位老朋友，剛離婚。Ulam就問：“你幹嗎
不娶她？”後來，他們兩個結了婚。
一次Princeton舉行的物理演講，演講者拿出
一個幻燈片，上面極為分散的排列着一些
實驗數據，並且他試圖這些數據在一條曲線
上。vonNeumann大概很不感興趣，低聲抱怨
道：“至少它們是在同一個平面上。”
五一節，休息一下
每天貼一個 ：-）
數學有害健康，大家過節了還是不要看書的好。
下面是歷史上最天才的幾個數學家在這個時間
軸上存在的長度：
Pascal39歲；Ramanujan31歲；Abel27歲；
Galois21歲；Riemann39歲。
身體重要的說。
數學家是天生的，不是造就的。
──H.Poincare
deMoivre21歲的時候，已經靠教數學為生，
並且深信自己完全精通了這門學問。一個
偶然的機會，他在一個公爵家裡做客，且
好Newton送來了自己的《原理》，他信手
翻了一下，驚奇的發現，數學竟然如此精
深如此美麗的一門學問。這樣，他買下了
這本書，儘管為了教學需要四處奔波，他
還要撕下書頁，以便能夠帶在口袋裡，空
閒時進行研究。
deMoivre（棣.莫佛）有個定理好像我們中
學的課本里就有，說的是一個複數n次方的
事情。
來說一個古老一點的人物
Pascal據說14歲的時候，就已經出席了法國
高級數學家的聚會，18歲發明了一台計算機
，是現在計算機的始祖。儘管如此，Pascal
成年之後最終致力於神學，他認為上帝對他
的安排之中不包含數學，所以完全的放棄了
數學。35歲的時候，Pascal牙疼，不得不思
考一點數學問題來打發時間，不知不覺間，
竟然疼痛全無。於是，Pascal認為這是上天
的安排，所以繼續開始做數學家。Pascal這
次復出的時間不到一周，但是已經發現旋輪
線的最基本的一些性質。爾後，他繼續研究
神學。
神學也是Newton最終的選擇。:-))
Kolmogorov(柯爾莫戈洛夫)是蘇聯最偉大的
數學家之一，在很多很多的領域做出了開
創性的工作；Cauchy(柯西）就不用介紹了，
從中學開始我們就認識這個法國人了。
今天我們就來說這兩個姓柯的牛人
Kolmogorov關於數學天賦的見解。當然，很
大程度上我認為他想通過這段論述來吹噓一
下。柯牛人認為，一個人作為普通人的發展
階段終止的越早，這個人的數學天賦就越高。
“我們最天才的數學家，在四五歲的時候，
就終止了一半才能的發展了，那正是人成長
中熱衷於割斷昆蟲的腿和翅膀的時期。”
Kolmogorov認為自己13歲才終止了普通人的
發展，開始成長為數學家；而Aleksandrov是
16歲。
Lagrange曾經預見了Cauchy的天才，苦心的
告誡Cauchy的父親，一定不要讓Cauchy在十
七歲之前接觸任何數學書籍。這個巨象當年
某些人不讓張無忌學武功（好像有點不恰當
）。:-))
說幾個數學家作為教師的生涯吧，大部份出
名的人物講課都不是太出色，或者說偶爾會
很失敗。譬如說Newton當初就經常對着空空
的講堂，他講東西第一不是太清楚，第二太
難，所以Cambridge的學生沒有人喜歡他的課。
從一些大家不是太熟悉的人講起。
Mondelbrolt是靠着畫分形出名的，其實他的
叔叔，Mandelbrojt是個更為出色的數學家，
曾經是Bourbaki最早的幾個成員。他做學生
的時候，大老遠從波蘭到法國讀數學，去了
之後精神上受到了嚴重的傷害，因為他選了
Goursat的分析課，然而Goursat上課永遠用
一種語氣，講述二三十年前就有的舊東西，
聽了三周左右的課，Mandelbrojt感覺和自己
夢想當中的課差的太遠，竟然哭了出來。
不過，幾年後，Bernstein來到巴黎，安慰
Mandelbrojt說Goursat二十多年前就這麼講課。
不過Goursat對人是很熱情的。
遙想當年Mandelbrojt那求知的感情，是多麼
的純真。那種東西，似乎已經在也不屬於我
們這個時代。
還是有的數學家講課不錯的。
Lebesgue儘管開始研究的東西很奇怪，不過
他的講課確實出奇的得受歡迎。Picard則是
個古怪高傲的人，他的老丈人是Hermite，
兩個人都是對分析很感興趣。
和Lebesgue一起，是一件很開心的事。據說，
Lebesgue的課，總是有無窮的人去聽課的，
大部份人因為Lebesgue講課不但深刻，而且
很有意思。一次，一個國外的學者來法國報
告自己的工作，Lebesgue說你不用報告了，
我替你報告吧。:-)
Picard總給人一種高不可攀的感覺，令人不
敢接近。每次Picard上課的時候，前面有一
個戴有銀鏈子的校役引路，他高傲的踱入教
室，在椅子上放有一杯水，Picard先喝一口
水，然後開始講課，大約半個小時，他再喝
一口水，一個小時以後，那個銀鏈子校役就
會來請他下課。
Lindemann，也就是證明了π的超越性的人。
據說是歷史上講課最爛的的幾個人之一。此
處收集他的故事兩則，一個是說他講課，一
個回憶了一下他在巴黎求學的兩件小事，還
是蠻可愛的。
傳說中Lindemann講課課大部份時間根本就聽
不清，聽清的話都是不可理解的聽不懂的話，
而少數情況下，他講的話又清楚又聽的懂，
那就是錯話。
Lindemann到巴黎學習的時候，聽過Bertrand
和Jordan的課，當時學數學的人太少，儘管
Jordan在法國算是領袖級的數學家，聽他的
課的人只有3個，偶爾會達到4個，其中卻有
一人是因為教室里暖和。
Lindemann還曾拜訪過Hermite,讓他難忘的一
點事，那裡有一把椅子，是當年Jacobi坐過
的。：-））
優秀的數學家在定理或理論之間看到了類似
卓越的數學家則從類似中間看到了類似
──Banach
毋庸置疑，Lefschetz和Wiener都是這種可以
從相似之間看到相似的數學家不過他們的講
課技巧實在是不能讓人恭維。
Rota曾講了一個Lefschetz的故事，關於他的
課是如何難懂得，因為他經常語無倫次。這
是幾何課的開場白：“一個Riemann曲面是一
定形式的Hausdroff空間。你們知道Hausdroff
空間是什麼吧？它也是緊的，好了。我猜想
它也是一個流形。你們當然知道流形是什麼。
現在讓我給你們講一個不那麼平凡的定理--
Riemann-Roch定理。”要知道第一節Riemann
曲面的課如果這樣進行的話，恐怕Riemann復
生也未必可以聽懂。：-）
Wiener儘管是個天才，卻是那種不善於講課
的那種，總是以為把真正深刻的數學講出來
一定要寫一大堆積分符號。有一個關於他和
中文的事情，Wiener天真的認為自己懂一種
漢語，一次在中國餐館，他終於有了施展的
機會，但是服務員卻根本不知道他講的是漢
語。最後，Wiener不得不評論：“他必須離
開這裡，他不會說北京話。”……
下一次說一些法國數學家的事情。
數學家猶如法國人：
無論你對他們說什麼，他們把他翻譯成自己
的語言，於是就成了全然不同的東西。
──歌德
法國的數學家就可想而知了。:-))
從最天才的人談起
Galois一共參加了2次Polytechnique的考試，
第一次，由於口試的時候不願意做解釋，
並且顯得無理，結果被據了。他當時大概
十七八歲，年輕氣盛，大部份東西的論證
都是馬馬虎虎，一般懶的寫清楚，並且拒
絕採取考官給的建議。第二次參加Poly
technique的考試，他口試的時候，邏輯上
的跳躍使考官Dinet感到困惑，後來Galois
感覺很不好，一怒之下，把黑宀林老□inet,
並且直接命中。Galios的天才是不可否認
的，不過personality是少一點了，後者在
Polytechnique考試中很重要。最後和Galois
決鬥的那個人，是當時法國最好的槍手，
Galois的勇氣令人欽佩。兩個人決鬥的時
候，相距25步，Galois被擊中了腹部。
1856年的時候，Hermite患了嚴重的天花，病
好之後，經過Cauchy大力慫恿，竟然皈依了
羅馬的天主教。就在這個期間，他和德國的
Fuchs一直通信聯繫，於是，Klein說Hermite
“在氣質上不是一個領袖人物”。當然，
Klein如此的評論有些個人恩怨的成份，可以
參見這個系列文章的(9).
在一次國王接見Cauchy的時候，他有五次回
答國王的問題是都這樣說：“我預料陛下將
問我這個問題，所以我準備好了答案。”然
後，他從口袋裡拿出筆記本，昭本宣讀。
法語是一種恐怖的語言，Birkhoff是上個世界
初美國最著名的數學家之一，一個西方人學
習法語，按照常理說應當有一定的優勢，不
過當他老人家去了法國的時候，還是遇到了
麻煩。
Hadamard曾在法國主持討論班，有很多人慕
名而來，Birkhoff就這樣子來到了法國，不過
他的法語實在太差。那幾天，巴黎一直下雨，
一天Birkhoff見到了Mandelbrojt問：“一周......
幾次？”大概中間的詞他不會發音。Mandelbrojt
說：“兩次。”“什麼，兩次？”“是呀，禮
拜二和禮拜五。”“怎麼可能呢？”“下午三
點半開始，五點之前就結束了。”“這個絕對
不肯能！！！”這個時候Birkhoff已經快瘋了。
後來Mandelbrojt才知道原來Birkhoff問的不是討
論班的時間，而是什麼時候下雨。
祝賀未明Science版聚成功,4個報告成功，gg
mm們高興地說espicially to 5 persons: ruster, yyf，
daijianium, lunagrass and arben :-)))
所有的數學家生活在兩個不同的世界裡。一
個是由完美的理想形式構成的晶瑩剔透的世
界，一座冰宮。但他們還生活在普通世界裡，
事物因其發展或轉瞬即逝，或模糊不清。數
學家們穿梭於這兩個世界，在透明的世界裡，
他們是成人，在現實的世界裡，他們則成了
嬰兒。
──S.Cappel
說3個可愛的法國數學家爺爺當年的事情,一
個是Hadamard，最出色的法國數學家之一，
無論在幾何，分析那個方面，都是經常那種
用名字來修飾“定理”這個詞的人；一個是
Lebesgue,實變函數論的創始之人，其對數學
的貢獻不言而明；還有一個叫做Montel，相
對於前兩個人不是那麼出名，不過在複分析
當中有一個極其重要的概念，叫做Montel正
規族，就是用他的名字命名的。
這三個人都是巴黎高等師範學校畢業的（不
好意思，要麼Hadamard就是從EcloePoly-
technique畢業的），Hadamard是他們那一屆
的第二名，一生都對那個第一名不忿，儘管
那個人作為數學家來說和他嚴格不是一個檔
次；Lebesgue和Montel是同一級的學生，分
別是當年的第三和第二名，兩個人一生都是
很好的朋友，據說那個他們同一屆的第一名
仍然在數學方面和他們不能相提並論。
先說Hadamard的詭異嗜好。
他老人家是一個狂熱的蕨類植物收集者，一
次他帶領自己的小妹妹到阿爾卑斯山去採集
這些東西，把妹妹放在一個冰河旁邊，采玩
了之後就自己興沖沖的回家了；他這種馬虎
一直改不掉，到了40年的時候，他成功的在
忘了帶護照的情況下，從法國動身去了美國
；當然，蕨類植物也是他一生的最愛，老年
的時候，他去莫斯科訪問，Kolmogorov和
Aleksandrov陪同他坐船，Hadamard忽然很興
奮得讓他們靠岸，自己激動得站在船頭，最
後終於掉到了水裡，原來他發現岸上有一種
罕見的蕨類植物。
再說Lebegue和Montel,他們後來工作也是在一
起廝混，所以下面的事情經常發生。
一次，Lebesgue打電話（那個時候有電話，
大概很富有了）給Montel討論一個事情，兩
個人各持己見，吵了一個小時（那個時候的
電話怎麼收費？）也沒有結果；第二天早上
，Lebesgue有給Montel打了一個電話，說我
開始同意你的說法了，然而Montel說我也同
意你的了，於是又開始爭吵。
今天不小心寫了好多的說：-））
穿過Plato學院的拱形門樓，首先映入眼帘的
是：“不懂幾何者請勿入內。”
昨天Science版聚，講到了一個和倍立方有
關的小故事，也就是如何用直尺圓規做一
個正方體它的體積是給定的正方體的2倍。
當然這個問題用一點域擴張的知識，就可
以證明是做不到的，和三等份已知角一樣
的。最初，在雅典流行瘟疫，人們很恐慌，
就去求助於神，神諭說要使得瘟疫消失的
充要條件是把一個立方形神壇重新建為一
個體積是原來2倍的。按照古希臘的規矩，
就是要用尺軌作圖。於是大家去問Plato。
Plato說這是神的旨意，用來警告大家要對
幾何學有着足夠的敬意。
回過頭來說法國。
法國的數學家大都對抽象的東西情有獨鍾。
Lagrange寫出了他著名的分析力學的書的時
候，就驕傲的宣稱書中“沒有一個圖”；
A.Weil在教師資格考試時，理論力學交了白
卷，他認為那根本不算數學。A.Weil就這樣
子，曾經PierreCarier問他Gottingen的事情，
提到量子力學的時候，Weil根本不知所云，
儘管當時Hilbert,Bohn,Heisenberg都在做量子
論。後來，Ch????ly和Weil在悼念Weyl的時
候，根本不提Weyl的物理學的成就，然而
大家公認Weyl最有名的兩本書一本關於相
對論，一本關於量子力學。
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11歲的時候，我開始學習Euclid的書，並請
我的哥哥當我的老師。這是我生活中的一件
大事，猶如初戀般的迷人。
──B.Russell
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第39篇，寫偉大的卻不到40歲的Riemann。在
100多年後的今天，他的思想還是能讓人們感
到最強烈的震撼。在此表示深深的敬意。
Riemann的父親是個牧師，家裡特別的窮，從
小體弱多病，也打算做牧師。有一個人（據說
是Rieamnn的中學校長）發現他在數學上比在
神學上更有潛力，送給他一部Legendre的數論
書。Legendre是一個偉大的法國數學家，他的
書十分的晦澀難懂。
六天之後，Riemann就找到那個人把這本859
頁的名著還了，說：“這本書的確十分的精
彩，我已經看懂了。”這個時候Riemann只有
14歲。
Riemann19歲的時候去Gottingen讀神學，平時
也會聽一些數學的課程。他比較喜歡泡在圖書
館裡。一次，他在那裡找到了Cauchy的分析的
著作，如獲至寶，讀完之後，便坦然的決定放
棄神學，從此開始讀數學了。
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天行健
君子以自強不息
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昨天有人批評道說這個系列的文章有一種過份
吹捧天才的傾向。歐覺得批評的特別的有道理。
每一個數學家的成功除了他們的天份之外，更
加讓人們欽佩的是他們完全忘我的瘋狂如自殺
般的工作。
今天舉兩個牛人，Siegal(西格爾)是那種很聰明
又很努力的，而Kodaira(小平邦彥)自己經常說
自己天資不好，但是他從中學開始就是那種做
事情一絲不苟全身心投入的人，他回憶自己第
一次學習vandeWearden的《代數學》，幾乎學
不懂，然後就開始抄書，一直到抄懂為止，可
見的Feilds獎的人的學習方法也不見的先進，唯
手熟爾。
Siegal曾經說過，他可以從早上9點起，研究數
學，一直到深夜12點，不吃不喝，最後把一天
的食物一併吃掉，弄得胃很不舒服。Siegal被
Kodaira稱為“非常勤奮”，被Kodaira稱為勤奮，
可見其勤奮成都是何等的可怕。
Kodaira一天的生活（1949年4月19日）：
8:00起床，剃鬚，穿西服，外出早餐（玉米片，
牛奶，咖啡）；散步到研究所，大約9:30；9:40
--10:40Siegal的關於3體問題的課；11:15--12:00
Weyl的討論班；到食堂吃午飯；坐車去Priceton，
1:20--2:20在自己的討論班上講論文；回家繼續
寫論文；5：30到街上的餐館吃飯；回家繼續工
作到深夜。
開始說說波蘭的數學家，從Banach開始，最最
偉大的波蘭數學家。
Banach在數學界的登場是一段美麗的傳說//:"-))
1916年的一個夏夜，Steinhaus在一個公園裡
散步，突然聽到了一陣陣的談話聲，更確切
的是有幾個詞讓他感到十分的驚訝，當聽到
“Lebesgue積分”這個詞的時候，他就毫不
猶豫的走向了談話者的長椅，原來是Banach
和Nikodym在討論數學。Steinhuas就這樣子
發現了Banach,並把他帶到了學術界。他說：
“Banach是我一生最美的發現。”
波蘭學派的人似乎喜歡在咖啡館裡討論數學，
Kuratowski和Steinhaus是有錢人，他們一般在
高檔的羅馬咖啡館裡談論數學；Banach，
Ulam和Mazur窮一些，整天呆在一個蘇格蘭咖
啡館裡，那裡的老闆挺不錯，即使過了營業
時間，也不會趕他們。這樣子很多年輕的數
學家都來到這裡，每次有什麼重大的發現，
就紀錄在一個大的筆記本來，並保存在店裡，
這就是著名的蘇格蘭手冊。當然，老闆對他
們好的一個原因就是他們每次都可以消耗大
量的啤酒，據說有一次聚會長達17小時，其
間，Banach不停的飲酒，Ulam說Banach是難
以超越的,英文的原文是difficult to overlast and
to overdrink Banach。
德國人在二戰的時候，需要大量的寄生蟲繁
殖疫苗，於是就僱傭了很多波蘭人，把裝有
寄生蟲的盒子戴在他們的手腕上，一人體作
為寄主。Banach曾經就擁有這麼一個盒子，
其報酬是不會像Saks一樣被殺死。一半以上
的波蘭數學家死於戰爭。
