自相矛盾的悖論，是數學史上一直困擾着數學家的難題之一。20世紀英國著名哲學家、數學家羅素曾經提出過一個著名的悖論——“理髮師難題”，其內容如下：

　　西班牙的塞維利亞有一個理髮師，這位理髮師有一條極為特殊的規定：他只給那些“不給自己刮鬍子”的人刮鬍子。

　　理髮師這個拗口的規定，對於除他自己以外的別人，並沒有什麼難理解的地方。但是回到他自己這裡，問題就麻煩了。如果這個理髮師不給自己刮鬍子，那麼按照規定，他就應該給自己刮鬍子；可是他給自己刮鬍子的話，按照規定他又不應該給自己刮鬍子。因此，這位理髮師無論是否給自己刮臉，都不符合自己的那條規定。這真是令人哭笑不得的結果。

　　羅素還提出過與“理髮師難題”相似的幾個悖論，數學上將這些悖論統稱為“羅素悖論”或者“集合論悖論”。為什麼又叫“集合論悖論”呢？因為“羅素悖論”都可以用集合論中的數學語言來描述，歸結成一種說法就是：

　　在某一非空全集中，有這樣一個確定的集合，這個集合中“只有不屬於這個集合的元素”。

　　那麼，全集中的某一個指定元素，和這個確定集合之間是什麼關係呢？不難分析，如果這個元素包含於這個集合的話，那麼根據這個集合的定義，這個元素就應該是“不屬於這個集合”的元素；可如果這個元素“不屬於這個集合”，那麼根據這個集合的定義，這個元素就應該在這個集合中，即包含於這個集合。這就是說，全集中的每一個元素，與這個確定集合之間都不存在確定的包含關係，這無疑是講不通的。



　　自從康托爾創立了數學領域中的“集合論”，用集合論中的觀點來詮釋各個數學概念之間的邏輯關係，真可謂是“天衣無縫”。因此集合論被譽為“數學大廈的基石”。然而“羅素悖論”的發現，證明了集合論中竟然存在自相矛盾的悖論，這足以暴露集合論本身的缺陷。

　　“羅素悖論”在20世紀數學理論中引起了軒然大波。“數學大廈的基石”竟然出現了明顯的“裂縫”，那麼人類耗費數千年心血建立起來的“數學殿堂”，會不會倒塌呢？一時間，數學界眾說紛紜，悲觀者甚至因此把當代數學比作“建立在沙灘上的龐然大物”。這就是數學史上著名的“第三次數學危機”。