| 讨论：信念与数学危机 |
| 送交者: 喜来登 2005年02月10日11:18:01 于 [彩虹之约] 发送悄悄话 |
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------------------------------------------------------------------------------- 罗素悖论号称是“第三次数学危机”。我们来看看所谓前两次是怎么回事。 第一次的起因是这样的。古时候人们只有有理数的概念，认为天下所有的“数”都可以写成两个整数的商。(现在我们知道，只有有理数才是整数的商，而无理数是没办法“除”出来的，有理数和无理数合在一起，构成实数集)有一个人忽然发现，边长为1的正方形的对角线长度(也就是根号2)居然没办法写成两个整数的商!这下不得了了，数学居然自相矛盾了(现在看起来，这哪里自相矛盾了？不就是发现了一个无理数么？你证明了根号2不是有理数，不是就不是呗。)，于是引起轩然大波。以今天的眼光看，这伤到所谓“数学大厦”了么？根本没有。但是当时的人们因为只有有理数，所以觉得数学大厦要坍塌了。这验证了我的说法，所谓“悖论”不过是反证法而已。我们假定根号2是有理数(就是两个整数的商)，然后推出了矛盾，这仅仅说明根号2不是有理数而已。仅此而已。 再看看所谓第二次数学危机。自古以来，人们认为欧氏几何是最自然，也是唯一的几何。但是后来，有人觉得欧几里得陈列的五个公理太多了。(数学家就是这个毛病，总喜欢假定的东西越少越好，这样才干净)于是试图去掉这个公理，只用前四个。本来是希望用前四个推一推，推出矛盾，好让大家服气这个第五公理是去不得的。谁知道越推越多越推越大，却怎么也没有矛盾。后来居然就推出一套和欧氏几何完全平行的几何理论出来，叫罗巴切夫斯基几何。这套新几何里面不假定欧几里得的第五公理，于是和我们平常的习惯格格不入。比如，它认为过直线外一点可以做无穷多条平行线。别扭是别扭，但是单纯从逻辑角度来说，这套新的几何是一套好好的理论系统，就像以前的欧氏几何一样自圆其说。但是当时可是不得了啊，有人又喊了，了不得，过平行线外一点可以做两条平行线，反了反了，国将不国了，数学居然连这个都推不出矛盾，数学完蛋了。现在看来，这是所谓“危机”么？当然不是。这第二次数学危机和第一，第三次味道有点不一样，它不是推出了矛盾(如果推出了矛盾，我说，就是反证法)，而是一直推下去，一直没有矛盾，推出了新的不合人们习惯的新理论。但是不管怎么说，没有人到现在还仍然认为，第二次数学危机是数学“致命的危机”。 后来就是罗素悖论了，这是第三次。看看前两次都是怎么回事，凭什么认为这第三次就是“致命”的呢？当然数学家不能这样说话，不能说因为前两次都不危机，所以“类比”这第三次也不是，如果这么说的话，那数学就堕落到别的学科的水平了。要说明这第三次数学危机也不是危机，需要认真的剖析它。我前几个帖子里面已经反复论证过了。 这个帖子的目的只是要帮助大家回顾一下前两次数学危机，让大家看到前两次数学危机都不是真正的“危机”，相反是促进数学发展的好事情。其中第一次危机和罗素悖论(第三次危机)味道很像，都是推出了矛盾。这不可怕，推出了矛盾，这说明我们发现了不在我们现有知识范畴内的新东西。 毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为l的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机. 十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机(不是欧氏几何的第五个公理平行线公理否定问题)。微积分的形成给数学界带来革命性变化，在各个科学领域得到广泛应用，但微积分在理论上存在矛盾的地方。无穷小量是微积分的基础概念之一。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，而且把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。
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