大家讨论太多庸俗的东西了！我们来讨论一点形而上的学问，对神的认识也许有帮助啊。有个哲学家叫库萨的尼古拉写过一本书叫：论有学问的无知，探讨的就是这个意思。

最近看到关于彭加莱猜想的报道，以为是黎曼猜想，就没太仔细看，今天看到一个贴子介绍了一下这个猜想，我才明白是怎么回事，原来是拓朴学里的一个猜想啊，而且这个猜想我以前也研究过一个简单的例子嘛。

话要说到我在大学的时候，要去研究拓朴学。为此我专门买了我这一生第一本英文书，不知道哪个地方影印的，叫做“Algebraic Topology”， 代数拓朴学，厚厚一本，得有400多页。我寒假里开始研究，因为我研究过群论，拓朴学看起来模型又很简单，以为读起来没什么问题。结果，印象里没有读过去10页纸。现在想想可能是基础太差，英文也跟不上的缘故。

然后我就到图书馆里找其它的书来看。首先看到的是江泽涵的拓朴学。我记不清是他从德文翻译的还是自己写的了，我想应该是自己写的。记得在前言里还提到王湘浩怎么鼓励他把书写完云云。中国人写的书不是给人看的，是为了学生学习过后可以提纲挈领复习的。反正那书我看得脑袋发晕，纸又发黄，长着霉，用的是二战时候的语言，实在看不下去。

结果有幸看到一本孙以丰先生翻译的一般拓朴学，记的是Armstrong所写，General Topology. 就开始研究那一本。我那个时候，实变函数已经自己读完，泛函也略略顺了一遍，尤其是后来又把那汤松的第一册实变研究了一遍。群论基础也自己看完，枷罗华理论也看了一点。所以应该有些基础。美国人写的书就是好看，翻译也好，那本书的纸张也很舒服。一上来就是讲什么是拓朴，好象就是实变里的开集的概念。慢慢看，越看越有意思。记得接着就是彭加莱的二维结果，下面再讲。

拓朴学里有很多有意思的结果。比如那本书里讲到不动点定理，只记得是从一个闭集到自己的连续函数，其中必有一个点是要映射到自己上面。不动点定理在很多分支里都有不同的说法，比如在数理逻辑里证明哥得尔定理也用到一个特殊的不动点定理。有人告诉我一个很好的比方来说明拓朴里的不动点。比如有这么一个头，上面布满了头发，每根头发有根有尾，每个点上都长了头发。我们现在来梳头，让头发都贴着头，所以每根头发的根和尾都在头上，这就是个映射，从根到尾的映射。当然这里在附近的头发长度都要差不多，就是说理发的时候理得很仔细。这样我们来梳头的时候，如果梳得很平整，每个地方都不格格楞愣，就是比较油头粉面，那么总有一根头发根和尾是重合的。

另一个定理是莫比乌斯定理。莫比乌斯带(Mobius Strip)大家都知道的。不知道我来告诉你，那一跟长条纸，我们看它作一个长方形，为了解释方便，我们叫上面的一条长边ab,下面的长边cd. 那么左边的短边(或者叫高)就是ac, 右边的短边叫bd. 如果我们把ac 和 bd 重合黏在一起，我们就得到一个环，就是一个纸环，诗经那个时候男女青年在野外定情的草戒估计就是那个样子。现在我们变化一下，我们把ac 和 db 重合黏在一起，注意这里a 和 d， c 和 b 要黏在一起，我们就得到了一个莫比乌斯带。莫比乌斯带有什么性质呢？我们把一只蚂蚁放在这个带子上，蚂蚁小伙会非常勤劳地顺着带子前进，开始它转了一圈，又会回到原来地方。也就是说，莫比乌斯带只有一个面。这是带子，再上升一点抽象性，还有瓶子，叫Klein bottle. daj大家可以google一下就知道什么样子，就是说一个瓶子既可以在里面又可以在外面。

莫比乌斯证明了关于封闭曲面的定理。什么是封闭曲面呢？比如一个球就是封闭曲面，一个在纸上画的圆面就不是。什么意思呢？就是你在这个有限的面上走，要是老没有个界限，就是封闭，比如在球上，你走啊走，可以回到原地，但是没有一个边说：你到头了，回头吧。但是那个圆面就不是封闭的，因为你走啊走，到了边上就过不去了。老莫说，任何一个封闭的曲面都可以这么得到：拿个球面来，我们来做手术。挖两个洞，拿个茶壶柄来，接在那两个洞上；部不够的话，再挖两个洞，再接个茶壶柄，直到够了。或者呢，挖一个洞，拿个莫比乌斯带来，把莫比乌斯带的唯一的边(现在莫比乌斯带只有一个边，不象原来的长条有四个边，或者是纸环有两个边)对齐那个新挖的洞的边，把它们黏起来。

老莫证明了这个定理，牛皮哄哄，送到法国科学院参加科技竞赛大奖评选。那个时候，这个奖很牛的，什么伯努力家族经常干这个。其中一个老伯努力一年自己儿子得了奖自己却没得，十分气愤，把儿子都从窗子里扔出去了。可惜老莫运气也不行，法国科学院的人说，这是什么啊，就几个茶壶把子叠叠纸片就得大奖，denied! 结果没想到老莫这个定理是影响巨大的。

回到彭家莱的定理。我很感谢那本一般拓朴学，尤其是彭家莱的定理。原因是从那本书里我终于明白了什么是数学。我读了很多数学书，但是我从来没有从书里超脱出来，想想数学家是怎么思维的。彭家莱救了我，他告诉我什么是数学。彭家莱为什么要搞拓朴呢，定义了一大堆关于拓朴的概念，就是为了证明一个圆面和一个环面是不一样的，拓朴上叫不同胚。什么意思呢？我们可以找张纸，裁个圆面出来；再拿一张纸，裁个圆面，然后从里面剪去一个小圆，就是一个环面。如果假如我不是剪纸，而是用橡皮布，可以拉长缩短，从一个怎么也变不出另一个。但是一个长方形就跟圆是一样的，是同胚的。彭家莱想，如果有个蚂蚁在一个面上，它不能跟我们一样从外面看，它怎么知道它是在一个圆面上还是在一个环面上呢？他的证明是这样的。这个蚂蚁可以画个大圆，假设如果在环面上，环面的那个洞正好被这个圆所包括，那么，它可以慢慢缩小这个圆，比如这个圆就是根绳子，它可以慢慢拉。如果是在个圆上，最后这个勤劳的蚂蚁会把绳子缩到一个点上，但是在环面上，它就怎么也做不到。这个圆和点如果能这么变换过去叫作同伦。在环面上，圆和点是不同伦的。

彭家莱的猜想呢，比这个要高一步。他考虑的是一个球面和一个donut，或者说是汽车轮子，呼拉圈。他说球面和轮子是不一样的，但是在上面的一个蚂蚁怎么可以知道呢？你看这里我们再拉绳子就不顶用了，因为蚂蚁只能在面上活动，不能跳出来，这个大奖就是为这么个问题。据说现在有人解决了这个问题，真牛啊！

写一点普及的东西，来纪念我以前努力学习胸怀大志的年代，也纪念忘个差不多的知识。