兩人三數字的Nim遊戲之解答

我說的都是兩人遊戲，下面只考慮兩人玩三個數字的情形。

首先說一個數學的思考路子：0，1，1或者1，0，1或者0，0，1都是一樣的。 就是說與順序無關的！ 同樣，7，11，13或者13，7，11或者7，13，11等都是一回事。 共有6個不同的７，１１，１３的排序，就是我們思考這個問題時要知道與順序無關。

然後再說另一個數學的思想方法： 先從最簡單的例子考慮。 最簡單的不外乎是只有1堆。那麼，輪到的一方當然是把這個僅僅一堆減到１，不管原來是多少。　然後，考慮有兩堆的情形。如果輪到的一方永遠保持這兩堆相等（就是我評論中說的相等），那麼不管對手用什麽辦法，這一方還是可以保持這兩堆平等。注意，到了１，１是個另外。不等到１，１的出現要改變策略。比如，我有一對６，６。你只能動一堆，只要你不動到１，６，你動多少我就動多少，我總可以保持兩堆相等。如果你減成了１，６，我當然就把它變成１，０了。　否則，我總可以保持這兩堆相等，直到得到２，２為止改變策略。大家去想怎麼對付對手對２，２的處理，我就不說了。　

對於三堆的情形，我的公式就是除了記住幾個例外以外，　每次都弄成“一堆等於另外兩堆的和”就可以保證贏。而且不管對方怎麼做，都可以永遠保持“一堆等於另外兩堆之和”，同時顧及到幾個例外情形。這裡所說的例外是：１，３，４是一個例外：　因為１，３，４符合我的公式，但是不是一個好的選擇。１，０，０是個顯然的例外。１，１，０也是一個反例外：說這個是反例外，是因為這個例子裡雖然符合我的公式，但是不是一個好的選擇。最後１，１，１是個反另外：說這個是反例外，是因為這個例子裡不符合我的公式，但是是一個好的選擇。記住這些，就可以在第一步或者一旦有機會時用我的公式。只要每一步都用了我的公式加考慮例外，就可保證永遠贏。

現在舉例開始：１１，　７，　１３

把三個數字分成兩堆且不考慮順序，只有三個分法。這就是｛７｝，｛１１，１３｝或者｛１３｝，｛７，１１｝或者｛１１｝，　｛７，１３｝。　第一種分法，沒有辦法得到我公式要求的。　第二種分法，可以得到的有兩種選擇｛１３｝，｛７，６｝或者｛１３｝，｛２，１１｝。第三種分法，可以得到的只有一種選擇｛１１｝，｛７，４｝。　

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