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橋牌中的概率
送交者: 捷克 2003年08月13日20:30:38 於 [競技沙龍] 發送悄悄話

ZT。

打牌時最重要的環節之一,就是測知敵方兩手的牌型和牌張分配情況,尤其在將牌或某一門關鍵花色上,更為重要。這往往是成敗所系。
敵方的牌張分配,同樣可以運用C(m,n)公式計算出來,因為當明手把牌攤到桌面上以後,你對己方的26張牌已經一清二楚,所以計算敵方的牌就比較方便了。
譬如在花色上,你方共持7張,不論它是否將牌,你通常總期望敵方的6張是3—3分配,那樣往往能使你多得贏墩。那麼,6張在敵方作3—3分配的概率該是多少呢?

 

第一節 概率表
敵方共持6張,作3—3分配的方式共有C(6,3)種,而他倆各自持其餘10張牌的組合共有C(20,10)種(其它三門花色共39張,你們聯手已占19張,還剩20張,敵方應各持其10張),二者結合起來是C(6,3) * C(20,10) = 3,693,600種方式。
第一章第四節中業已闡明:第三位牌手可能持有的總方式數是10,400,600種;第四位牌手則只剩一種。無可選擇,故而敵方作為第三、四名牌手得牌總方式數為10,400,600,用這個數除上列3,693,600,答案是35.53%,這就是3—3分配的概率。
儘管這一類計算並不複雜,但是在牌桌上進行計算總覺得倉促費力,不大可能,所以每一個牌手應當熟悉下列概率表中的主要內容,記住其大致的數字百分比:

敵方在某一門花色上的分配概率表

牌張數目 分配 概率% 組合數目 各組合的概率%
2 1—1 52.00 2 26.00
2—0及0—2 48.00 2(1+1) 24.00
3 2—1及1—2 78.00 6(3+3) 13.00
3—0及0—3 22.00 2(1+1) 11.00
4 2—2 40.70 6 6.78
3—1及1—3 49.74 8(4+4) 6.22
4—0及0—4 9.56 2(1+1) 4.78
5 3—2及2—3 67.83 20(10+10) 3.99
4—1及1—4 28.26 10(5+5) 2.83
5—0及0—5 3.91 2(1+1) 1.96
6 3—3 35.53 20 1.78
4—2及2—4 48.45 30(15+15) 1.61
5—1及1—5 14.53 12(6+6) 1.21
6—0及0—6 1.49 2(1+1) 0.75
7 4—3及3—4 62.18 70(35+35) 0.89
5—2及2—5 30.52 42(21+21) 0.73
6—1及1—6 6.78 14(7+7) 0.48
7—0及0—7 0.52 2(1+1) 0.26
8 4—4 32.72 70 0.47
5—3及3—5 47.12 112(56+56) 0.42
6—2及2—6 17.14 56(28+28) 0.31
7—1及1—7 2.86 16(8+8) 0.18
8—0及0—8 0.16 2(1+1) 0.03

這張表為牌手們提供了極其有用的參考數據。這些數字有其非凡的魅力,在橋牌實戰中經常發揮巨大的作用。但是,在讀者對這張表着迷之前,必須聲明一點:這些數字是先驗的概率,或可稱之曰早期概率,它是在發牌前就計算出來的。適合於一般的、通常的情況。各種信息都表達若干特定情況,反映這付牌的特殊性,有時足以很大程度地影響早期概率。信息可以來自多方面:敵方的叫牌與不叫、你自己所持牌張的情況、敵方的首攻、打牌進程中出現的牌張數目,以至敵方某一家的打法......都可能使早期概率發生動搖和變化,使原有的優勢或劣勢呈現戲劇性的轉移,這也正是橋牌計算與數字計算不盡相同之處。
為了更詳盡地從數字上進行研究,我們姑且假定沒有其它信息,只有這樣,才能以從這個重要的角度上深入探討。在實戰中,牌手們必須把各種信息與早期概率結合起來計算、估量,千萬不要忽略這個主旨。
另外,要求任何人記熟表內各項數字,顯然使要求過份了,但是我們建議你要熟悉該表的重要部分,並對各種分配概率的比差有一個大體上的印象。常遇的情況是敵方持有4張、5張或6張將牌,這時,明確其可能分配的百分比,對你的打法有極大的幫助。為此,我們不厭其繁地再列出一張簡表,作為便於記憶的一張小單子:

1、敵方有3張將牌時:
(a)2—1(1—2)分配的概率是78%
(b)3—0(0—3)分配的概率是22%
2、敵方有4張將牌時:
(a)2—2分配的概率是40%(40.7%)
(b)3—1(1—3)分配的概率是50%(49.7%)
(c)4—0(0—4)分配的概率是10%(9.6%)
3、敵方有5張將牌時:
(a)3—2(2—3)分配的概率是68%(67.8%)
(b)4—1(1—4)分配的概率是28%(28.3%)
(c)5—0(0—5)分配的概率是4%(3.9%)
4、敵方有6張將牌時:
(a)3—3分配的概率是36%(35.5%)
(b)4—2(2—4)分配的概率是48%(48.5%)
(c)5—1(1—5)分配的概率是15%(14.5%)
(d)6—0(0—6)分配的概率是1%(1.5%)

這張小單子,應該是不難記住的,當你多看幾遍之後,你又會發現一個特點,即:當敵方共持將牌為奇數時(3、5、7、),均勻分配(2—1,2—3,3—4)的概率一般都大於50%,也就是對你有利;而敵方共持將牌為偶數時(4、6、8),均勻分配(2—2,3—3...)的概率都小於50%,也就是對你不利,須加小心;只有敵方共持2張時是例外(1—1分配占52%,2—0及0—2分配占48%)。
表中同時列出各種分配各有幾種組合方式,這對估量某一特定牌張能起參考作用。譬如敵方共持帶有K的5張將牌。你想知道“西”(或“東”)持單張K的概率,可以在表上查出,應為2.83,因為5張作1—4分配的概率是28,26%,同時又有10種組合方式,因此這一特定方式的機會只有2.83%。又如敵方共有5張將牌帶Q,你想知道其中一家持有雙張帶Q的概率,你在表上可以看到,2—3分配和3—2分配共有20種組合方式,每一種組合的概率是3.39%;同時你不難算出,雙張帶Q的組合共有8種,因此Q在雙張內的概率是3.39% * 8,即27.12%,而在3張內的概率則是3.39 * 12即40.7%。
這課題有一個簡捷的計算方法:某一特定牌張的特定處境,與其持有該花色牌張的總數成正比,2—3分配的概率是67.83%,你在總數5張中求它在雙張呢的概率,只要把2/5 * 67.83就可以了。

 

第二節 飛張呢還是硬打?
當你在將牌上,或某門邊花套上,缺少一張大牌時,你往往難以決定採取飛張打牌呢?還是一開始就下頂張大牌硬打。這兩種打法何者較為有利,決定於:
1、這門花色在敵手共有幾張?
2、你能夠硬打幾輪?
依照你的大牌路線,應當打將牌或必須動某門花色時,可以從下列簡明概率表上得到啟發。

敵方共持有該花色的張數
一張大牌可能分布情況的概率%

單張 在雙張內 在3張內
2張 52.00 48.00  
3張 26.00 52.00 22.00
4張 12.44 40.70 37.30
5張 5.66 27.12 40.71
6張 2.42 16.15 35.53
7張 0.96 8.76 26.90
8張 0.36 4.28 17.67

對照上表所列百分比,在一般情況下,什麼時候應該硬打,什麼時候應該飛張,你就有所遵循了。總的原則是:當牌打的成功率低於50%時,你就應當採取飛張打法;因為飛張的成功率大體是50%。具體推演如下:
1、當敵方共持2張,其中有K時,硬打。因為K屬單張的概率為52%,用A擊落K的機會大於50%。
2、當敵方共持3張或4張時:
(a)敵方所持大牌為K時,採取飛張打法,因為只能用A硬打一輪,擊落敵K的機會大大低於50%。
(b)敵方所持大牌為Q時,採取硬打,因為你持有A和K,可以硬打兩輪。敵Q跌落的機會在敵方共持3張時是78%,共持4張時也達53%,均高於50%。
(c)若敵方所持大牌為J,你可以硬打三輪,除非在硬打第一輪時就發現敵方是4—0分配,才另作適當處理。
3、當敵方共持5張或6張時:
(a)敵方所持大牌為K或Q時,採取飛張打法。
(b)敵方所持大牌為J時,採取硬打;因為可以硬打三輪,敵J跌落的機會高於50%。除非發現敵手分配偏缺,在另作處理。
4、但敵方共持7張或8張時,不論你所缺大牌是K、Q或J,一律採用飛張打法;因為在這種情況下,即使你能硬打三輪,敵J跌落的機會也在50%以下。
但,在橋牌桌上有許多因素都足以影響你的打牌路線,不能單純依靠數學概率來處理。在大牌進程中,又會呈現某些信息,使概率發生變化,甚至使你必須修正原有的打牌路線,應當相機行事。
然而有一句通用的成語:“八飛九不飛”,還是值得參考。這意思是說:當你和明手在將牌或某一門邊花上共持8張而缺Q時,總該飛張;但共持9張缺Q時,就決不飛。對照概率百分比,這話是正確的。當然,在橋牌實戰中,根本不存在“總該”或“決不”,不能死守這一成規。這是因為牌情千變萬化,打牌路線多種多樣,並且在打牌進程中又會呈現各種特殊情況,必須因牌制宜,因時制宜。
高明的牌手對飛張常持審慎態度,不肯輕率運用,尤其當飛張的成功與否會決定全局成敗時更是如此。當他能夠找到一條更加妥善的打牌路線時,往往放棄飛張,或者把飛張保留到最後才運用,籍以爭取更大的成功率。
簡單說來,飛張成功之機參半,各占50%;但在實戰中卻並非如此。例如敵方的叫牌可能提供某些信息,使你得以推斷某一關鍵牌張大概在誰手裡。同樣在打牌進程中,根據“空檔”(見本書第七章),“等價打牌”、“自由大牌”、“自由選擇”(見本書第八章)......等等,都足以改變原有的概率百分比,使飛張的成功率增大或縮小。
另外,假如你坐在南的位置上,有時根據牌情,你不怕飛失於西,卻不可飛失於東;失於西無礙大局,失於東,可能一敗塗地(或者相反)。那時,飛與不飛?往哪個方向飛,都需決定於此。
以上這些因素,都應當慎重考慮。

 

第三節 關於特定牌張
上列概率表主要運用於推斷敵方在將牌或某一花色上的牌張分布情況;同樣,它也可用以推測任何特定牌張在敵手的分布概況。例如:
1、敵方共持有3張A(或K),而在叫牌過程中不曾提供任何信息;那麼,2—1分配的可能性應占78%,3—0分配的可能性只占22%。
2、如果在某一門花色上你缺少兩張大牌,那麼,這兩張大牌分屬敵方兩手的機會應占52%,全在一手的機會共占48%。倘你坐南,則全在東手或全在西手各占24%。這就提供了一種合理的打法,例如:
(a)在某一門花色上你持如下牌張:

432
 

AJ10

但凡進手無問題,你就應當從明手出牌兩次,打兩次飛張。這樣,只有當K與Q全在西手時,你才會失去兩墩。可能性僅占24%;而K與Q分屬兩手(52%),或K、Q均在東手(24%)時,你都能獲得兩墩。總計有76%的機會。
(b)雙飛——與上例大同小異,如:

432
 

AQ10

同樣應該從明手出牌,東若跟小牌,你就用10飛。不論飛成或飛失,第二輪還從明手出牌,手裡用Q飛。這樣打,只有K與J均在西手時你才會失掉兩墩,概率僅占24%;而當K、J分屬兩手時,你都能獲得兩段,概率是52%;碰巧,K、J均在東手,你從明手出牌飛兩次,竟可3墩全得,這也占24%的機會。
(c)深飛。如:

432
 

AK10

這時,你穩得兩墩,但是你若首先採用10深飛的辦法,可能三墩全得,機會也占24%。
(d)你倘持:

432
 

QJ5

A、K均在敵手,你最高的希望只能得一墩,弄不好就3墩全失!為了儘可能爭取到一墩,也要從明手出牌,飛兩次,因為A、K均在西手的概率只占24%,你取得一墩的機會可占76%。
以上這些基本打法,都是以概率運算為基礎的,事物總有偶然性,單論某一手牌,可能偏遭失敗,但在長期實戰中,多次積累下來,合乎規律的打法必能顯示其威力。

 

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