根据网友们的评论以及来邮，这里介绍一些代数和数论中的基本概念。顺便说一句，在数学系通常把数论归为代数，几何，分析三大方向的代数一类。其实我们讨论的黎曼猜想主要用的是解析函数，属于分析的方向。 数学中的代数，分析，和几何三大类或许类似医学中的病理学和解剖学，而数论类似临床医学。数论类似临床医学就必然涉及到所有的基础数学。应用数学不是纯数学的一部分，应用数学主要是工程技术借用的数学方法。物理中所用的数学却有很多属于纯数学，“数学物理”是纯数学的一个分支。

所有的代数，分析，和几何以及当今发展很快的概率组合学几乎都是为了解决本质上属于数论的问题而建立的基础分支。如果把代数方法比作中医，那么解析方法则可以比作西医。而解析数论这个类似“西医”的分支还远远没有得到应有的发展。 Wiles在1995年证明的“大费马定理”可以代表代数数论（也涉及解析数论）的一个顶峰，而解析数论的一个核心问题就是黎曼猜想。 黎曼猜想以及紧接着的很多问题的解决可能把解析数论这个分支引向成熟。

如果我们不考虑除法，所有的正负整数之集合是一个整环。这里“整环”是数学中的专用术语，意思就是乘积为零的两个数其中至少一个为零。下面我们会谈到不是整环的数学对象。如果只考虑乘法，所有的整数是一个“半群”；根据算术基本定理所有的质数就是这个半群的生成集。 这里两个相反符号的质数应该被看作一对，而不是简单的两个。 

给定一个整数 N 比如 N =7。所有以 N 为除数的余数根据现成的加法和乘法也成为一个"环", 只要把得到的结果除以这个除数以其余数为结果就是。比如3×3 =9 =2，3 ×7 =21 =28， 后面这个就是我曾经答应解释的“三七二十八”。这就是“同余”的概念。所有除以7的余数可以加减乘除，这样这个“环”就叫做“域”了； 域就是所有“环”中的两个数只要除数不为零都可以相除的意思。这并不是永远都成立的，比如把7换成6就有了问题。 在同余6的环中，2×3 =6 =0， 所以这个同余环不是整环。而且在这里，1/2 没有意义了。 然而在同余7的环中，1/2 =4， 因为2×4 =8 =1。

本人很小就知道了韩信点兵的故事，今天甚至都记不起来到底是谁告诉我的。 在八十年代被翻译成世界多国文字的“九章算术”，可以代表中国古代数学的辉煌成就。我幼时看到过九章算术的部分抄本，那里应该可以找到这首韩信点兵的歌谣, “三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正月半，减百零五便得知。” 这里105就是3×5×7的结果，而70就是5×7 =35 再乘以35同余于3的倒数2，因为 1/35 =2 或者35 ×2 =70 在3的同余中等于 1。类似地，在同余5中，3×7 =21 =1； 在同余7中，3×5 =15 =1。所以，后面的廿一支21 与 正月半15 没有改变。这个定理在当代数学中被称作“中国剩余定理”或者“孙子定理”，以纪念我们的祖先对人类数学的卓越贡献。

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