一些物理和數學中基本概念的直觀理解

我們經常讀到物理學和數學中的基本概念和基本結果，如果我們不是正好在那個專業，很難理解。 下面， 我想直觀地描敘一些基本概念。我於物理，數學均是外行，請大家多多指正。

廣義相對論是我們經常讀到和聽到的概念。什麼是廣義相對論？如果你用力壓床墊，床墊就會彎曲，也就是說，用力和彎曲是等價的。在廣義相對論里，重力用曲率來表達，而黎曼幾何則是彎曲空間的理論。所以，做幾何的人， 會經常提到廣義相對論。

量子力學是當代物理學的基礎。量子力學，英語是 quantum mechanics. Quantum 是巨大的意思。你看到一個剛出生的嬰兒，過了十年，再一次見到，孩子有了巨大的變化。一個電子，每秒鐘繞原子核好多億圈。也就是說，一眨眼的功夫，電子已經繞着原子核走了很多圈，可能已經發生了很多事情，已經可能發生了巨大的變化。所以，描述微觀粒子（都動得很快）的科學叫做量子力學。

量子力學使用的數學方法是泛函分析。泛函是普通函數的推廣。普通的函數，有一條描述函數變化的軌跡，而泛函只有分布。假如你高中畢業，二十年後才和老同學相聚，發現原來差不多的同學現在的狀況很不一樣，你並不知道他們二十年間具體的情況，只能說，過去一樣的，現在分布很廣了。泛函分析源於量子力學，一眨眼的功夫，微觀粒子已經產生了很大變化，你沒法知道它的具體軌跡，只能知道它的分布，是為泛函，而非函數。有人也許會問，能否把測量的密度不斷增加？但是一個觀測者，或者觀測者使用的儀器，相對於一個電子，是一個笨重無比的龐然大物，根本無法持續跟蹤電子的行蹤。

廣義函數是泛函分析中的一個概念。普通的函數，每一點都有定義，而廣義函數則可能沒有。我們看一下萬有引力和電力的計算，來理解廣義函數。萬有引力的公式是 1／r2。r ＝0 是一個奇點。但在實際情況中，重力有意義的都是大物體，象地球，半徑都很大，所以不需要考慮r ＝0 這個奇點。電力的強度比重力高很多個數量級，小小的電子，相互作用力很大，但電子太小，計算當中，半徑設為零，因為庫倫力也是 1／r2，r ＝0 就成了一個真正的奇點。由於兩個電子相鄰的時候作用力很大，不能忽略，所以必需包括 r ＝ 0 時的狀態，這就是廣義函數，是狄拉克在量子力學計算中最早引入的。

人們講到漂亮的理論，經常提到狄拉克方程。什麼是狄拉克方程？那個時候，量子力學剛產生不久，原子內部，電子的速度很快，特別是大原子的內層電子，速度極快，需要考慮相對論效應才能準確描述，狄拉克就把量子力學和相對論放在一起考慮，這就是狄拉克方程。因為量子力學和相對論是兩個非常基本的理論，結合在一起可以推導出很多預言，好些後來被證實了，所以經常被人提起。狄拉克方程說明，一個建立在堅固物理基礎上的數學理論，即使非常奇怪，也能給出很符合實際的預見。

金融數學是一個應用廣泛的理論，狄拉克的思想對金融數學也有間接但很重要的貢獻，大家在理論力學中學過哈密爾頓系統和拉格朗日系統，而量子力學的早期理論是建立在哈密爾頓系統上的，狄拉克的問題是，量子力學可否建立在拉格朗日系統上？後來，費曼受到啟發，創建了量子力學的路徑積分方法，對工程，金融，經濟和生物理論均有很多幫助。 

為什麼路徑積分方法對經濟和生物理論均有很多幫助？一個生物系統，如果下一代的平均數目高於上一代，這個系統就有前途。同樣，一個企業，如果營業額的平均數目高於成本，這個企業就有前途。能夠計算未來的平均值，對於生物和經濟理論至關重要。而路徑積分方法提供了非常一般的計算平均值的方法。