由賭博所想到的一道概率數學題 |
送交者: 青燈法師 2017年02月13日19:56:59 於 [教育學術] 發送悄悄話 |
由賭博所想出的一道概率數學題 最近在單位里與一位來自愛爾蘭的後裔討論了許多經濟問題,他是一位堅定的共和黨人,主張低稅率,低福利,對於川普的減稅政策大為支持。從討論中我能感受到他所學的經濟學與我所理解的不同之處,因此我們之間的觀點很難達到統一。 他把富人變得更富,窮人更窮的原因歸結到富人善於理財,窮人胡亂花錢上面。 我試圖說法他,一個擁有巨額資金的人,在市場的博弈當中會擁有巨大的優勢,換句話說,如果兩個人擁有相同的知識,但兩者的資金量不一樣,那麼經過幾個回合下來,富人變得更富,窮人變得更窮就是一個大概率事件,這與雙方的知識沒有關係。當然我的上述觀點說服不了他,所以我一直在試圖尋找一個簡單明了的例子來說服他。 上個周末一個偶然間,找到了一本壓箱底的老書,它是一本教你如何在賭場中玩21點並能贏錢的技巧。這本書我以前看過好多遍了,但注意力都是集中到一些玩牌技巧與押注技巧上,不過這次我的注意力卻轉到一些非技巧的方面。書的開始談到為什麼要玩21點而不是賭場裡的其他的遊戲,那是因為只有這個遊戲的輸贏概率接近50%,其他的遊戲賭場的獲勝概率都遠大於50%。上升到策略層面,作者主張在玩之前,要坐在牌桌旁仔細觀察,如果你發現一個牌桌上,賭場總是贏,那你就要放棄上桌玩牌的打算。如果一個牌桌上賭場輸的多一些,那是入牌局的好時機。為什麼呢?作者說這是因為,即使你玩得再好,從概率上講,賭場的贏面稍微大一些,但即使是那麼小數點後的小優勢,從長期的角度考慮,玩家還是要輸的,因此入場要選擇時機。 反覆咀嚼他的話,突然間我想到了一個簡單的例子。 一個雙人賭博遊戲,遊戲的規則很簡單,就是扔硬幣決定輸贏,如此簡單的規則使得遊戲雙方的知識與智慧變得無用,這正是我所需要的。此外這是個零和遊戲,與股票市場上的交易相符。此外我還附加上了兩個條件,使得這個例子變得簡明,至少是在數學上可以求解的。這兩個條件就是:一個人手裡只有1塊錢,另一個有N塊錢,一次投幣輸贏只有1塊錢;其次,這個遊戲要一直持 續下去,直到一方的錢輸光為止。現在的問題是,手裡只有一塊錢的那個人最終獲勝的概率是多少? 如果我們把這道題延續下去,可以換作是,一個大房子裡有N個人,每個人在開始的時候手裡都只有1塊錢,然後開始投硬幣賭博定輸贏,一次輸贏都是1塊錢。在開始的時候,先隨機選兩個人之間玩。當然在剛開始的時候兩個玩家的手裡都只是1塊錢,所以只要拋一次硬幣就能決定雙方的輸贏。所以雙方的輸贏概率都是50%。之後輸的人被淘汰出局,贏的人留下坐莊,然後再 從其餘的人中,任選一個上來與莊家拋硬幣賭博對決;他們兩者之間要一直玩下去,直到一方輸光為止。輸者出局,贏者坐莊,再從其他未玩的人中任選一個上來與莊家對決。如此下來,你會發現:(1)贏錢與玩家的智力無關;(2)莊家獲勝的機會隨着本錢的增多會越來越高,到後來一個普通玩家是根本無法贏莊家的,因為那是一個極小的概率。而我所出的那道數學題正是這 個遊戲玩到最後所出現的場面,莊家手裡握着N塊錢,另一方只有1塊錢。 以上就是想出這道題的思路。 這道題的結論應該是莊家獲勝的概率是N/(N+1),而另外一方獲勝的概率只有1/N。當然我是花了好長時間才把求解它的思路捋順的。 ----------------------------- 以下是我的思路: 先假定下面的一系列的變量:P(0),P(1),P(2),...,P(N),P(N+1).這裡P(k)是當一個人手裡有k圓錢時輸了的概率。 對於我們上述的問題,雙方手裡一共是(N+1)塊,所以你一旦手裡握了全部,那你輸了的概率是零,於是P(N+1) = 0 此外,如果你手裡沒有錢,那你輸了的概率就是P(0) = 1; 找到了這兩個解題條件,我們下面要找的就是P(1),就是手裡握有1塊錢時輸了的概率。此外我們還知道,當你握有1塊時,經過一次投幣之後,你的結果只有兩種:(1)輸,手裡沒錢了;(2)贏,手裡有2塊錢。所以擁有1塊錢時輸了概率可以通過下面的方程計算: P(1) = [P(0)+P(2)]/2 同樣的道理,如果手裡有2塊錢,經過一次投幣之後,其結果有兩種,(1)1塊錢;(2)3塊錢。如此我們有下面的方程式: P(2) = [P(1) + P(3)]/2 一次類推,一般地我們有: P(N) = [P(N-1) + P(N+1)]/2 上面有N個方程,N個未知量P(1),P(2),...,P(N)。求解後自然就是上面的結論了。 |
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