35分

12分

薩哈羅夫在這片所謂“愛國者”的汪洋大海中，

像一葉孤舟，隨時都要被憤怒的群眾淹沒。

但是，知識分子幹什麼來的呢？

就是要用智慧和良心引導民眾呀。

阿扁歷險記

     ——再釋彎曲空間的平移

如前述，所謂彎曲空間的‘平移’，

就是將一個矢量（向量），

平行於自身的方向，沿着空間一條曲線的移動。

在平坦的歐幾里德空間，這種移動是一目了然的。 

現在想象有個極小、極扁的

二維平面生物“阿扁”，

阿扁生活在一張平面紙上。

阿扁很聰明，他會用坐標系。

阿扁感受到的幾何，是歐幾里德幾何，

即他感受到，

三角形的3個內角之和，等於180度，等等。 

阿扁學過微積分、會計算許多圖形的面積，

自然也懂得矢量（向量）等概念。

阿扁所理解的平行移動，

就是像下圖左邊所示的：

矢量（向量）移動時，

要保持與自己原來的方向平行。

如何做到這點？

即，只要保持

這個矢量在直角坐標系的分量不變就可以了。

分量是個常數。

在圖中，直角坐標系是以紅色大十字表示的。

那麼，到底什麼是‘分量’呢？

通俗地說，

分量，即向量在X軸或Y軸上的投影。

當選好坐標系後，向量就可以分解、

或者說，向量就可以‘投影’在坐標軸上，

向量在坐標軸上投影的大小，即是向量的分量。

投影 ，指圖形的影子投到一個面或一條線上。

從初中數學角度說，

用光線照射物體，在某個平面上

（地面、牆壁等）得到的影子，叫做物體的投影，

照射光線叫投影線，投影所在的平面叫投影面。

呆在平面紙上的阿扁發現，

如果將向量沿着一條‘閉曲線’平行移動一圈，

再回到原來出發點的話，

向量的大小和方向不會改變，

經過平行移動得到的向量和原來的向量一模一樣。 

不過有一天，來了一個3維世界的小生物“阿三”，

阿三看見阿扁生活的這張紙，

他突發奇想，把這張紙剪去一個角。

比如說，像下圖‘中圖’所畫的情形，

阿三在紙上剪去一個40度的角，

然後將剩餘圖形的兩條‘紅綠剪縫’黏在一起，

做成一個像下圖右邊所示的錐面。

天道酬勤（這是一定的）：

您可以起身去拿一張紙，按照中間圖所示，

剪去一個40度的角，之後，用手把O點往上揪起來，

就得到一個如右邊圖所示的立體錐形了。

這時生活在紙上的小小阿扁，

沒有感到他的世界有什麼變化。

在阿扁看來，他周圍的世界仍然是平平的，

那條紅色直角坐標軸幾乎紋絲不動地

呆在原地。當阿扁拿着他的（平面）陀螺儀  

沿着小圓圈C₁或C₂作平行移動

回到原來出發點時，

陀螺儀的指向和原來一樣。

這說明向量平行移動的規律沒有改變。

不過，阿扁的技術越來越高，

膽子越來越大，旅遊的地點也走得越來越遠。

他逐漸發現一些問題。比如說，

當他沿着右圖中所示的曲線C₃走了一圈，

回到原來出發點時，

他的陀螺儀的指向和出發時候

有了一個40度的角度差

這個40度的差，

是根據錐形幾何及微積分公式算出來的。

這個發現讓阿扁激動，

於是，他進行了更多的平行移動實驗，

繞了好多不同的圈，終於總結出一個規律：

他生活的世界，在右圖中所標記的點O附近，

有一個特殊區域，

只要他平行移動的‘閉曲線’包含了這個區域，

陀螺儀的指向，

就總是和原來出發時的方向相差40度。

如果不是繞着這個區域轉圈的話，

平行移動便不會使矢量的方向，發生變化。

當時的阿扁，技術還不夠精確，

還沒有搞清楚這個區域是多大，

況且，他也有點害怕那塊神秘兮兮的地方，

不敢在那兒逗留過久，作太多的探索，

以防遭遇生命危險。

阿扁喜歡讀書學習新知識，

他從一本數學書中了解到，

如果陀螺儀走一圈方向改變的話，

說明自己所在的空間是彎曲的。

因此，通過對多次實驗結果的總結，

阿扁提出一個假設：

他所在的世界基本是平坦的，

除了那塊奇怪的區域外！

再回到我們的世界來看球面幾何。

陀螺儀走一圈後方向改變的值，

叫做平移一周后產生的‘角度虧損’，

可用θ表示

（國際音標/ˈθeɪtə/ 近似音‘塞它’）

角度虧損與空間曲率有關。

一個標準球面上的曲率處處相等。

如果有某種生活在球面上的扁平生物的話，

他沿任何曲線繞行一圈後，

陀螺儀方向都會有變化，

而且，

‘角度虧損θ’（‘塞它’）是不固定的，

‘角度虧損θ’

與繞行迴路所包圍的球面面積成正比。

阿扁想通了這些道理，

明白他的世界大多數地方都是平面的，

只有一點不對，

那一點附近的空間是彎曲的錐面。

錐面是一個可展曲面。

它所有地方的幾何

都與平面上的歐幾里德幾何一樣，

除了那個頂點以外。

也就是說，錐面上每個點的曲率都等於0，

但頂點是一個曲率等於無窮大的奇點

（奇點是指在時空的曲率無窮大的那一點。

   在奇點所有的定律都失效。）

這時阿扁恍然大悟：

原來我生活在一個錐面世界！

5分鐘

 謝謝。