用現代的眼光來看發現微積分的歷史，可以分為3個階段：1. 極限概念，2. 積分法求體積面積，3. 發現微分積分互逆。極限概念必須先行，這點在微分或積分兩個過程中是一樣的。

1，微積分基本定理

通常認為最後一步（發現微分積分互逆）是被牛頓和萊布尼茨分別獨立完成的，因此將發明微積分的功勞歸於他們倆。但實際上從現代數學的觀念來看，微分和積分作為互逆運算的本質，是被“微積分基本定理”所描述的。早在牛頓和萊布尼茨之前，對“微積分基本定理”，就已經有一個長長的研究歷史。因此，為了更深入理解微分積分之間的聯繫，我們探索一下“微積分基本定理”發現的歷史過程。從展示歷史的線索，能讓我們明白這個定理為何重要？以及隱藏於微積分概念背後的科學動機。

 微積分基本定理包括兩個部分：第一部分表明不定積分是微分的逆運算，闡明了原函數的存在；第二部分表明定積分可以用無窮多個原函數的任意一個來計算。

 伽利略對科學的貢獻無人能比。他常被人們（包括愛因斯坦）譽為是“現代科學之父”，當代物理學家霍金也說：“自然科學的誕生主要歸功於伽利略。”伽利略的貢獻是多方面的，這兒僅舉力學方面一例：他做的落體實驗證明了：物體下落的運動不是勻速運動，而是加速運動。如何在數學上來描述非勻速運動呢？這顯然要涉及到如今我們熟知的“即時速度”的概念。有了微分（導數）之後，即時速度的意義不難理解，由此可知，伽利略的力學理論為微分理論的建立提出了實用意義上的“需求”。

伽利略晚景淒涼，被教會軟禁在家，最後雙目失明。但他直到臨終前仍在從事科學研究。經常陪伴他的是他的最後的學生之一：以發明氣壓計而聞名的意大利物理學家、數學家托里拆利（Evangelista Torricelli, 1608～1647）。

托里拆利在研究伽利略的力學貢獻時，意識到在拋物線上進行的兩種運算（類似微分，積分）是互逆的。但他並未真正建立“微積分基本定理”。

後來，蘇格蘭數學家詹姆斯·格里高利（James Gregory，1638年－1675年）首先發表了該定理基本形式的幾何證明，牛頓的老師，艾薩克·巴羅證明了該定理的一般形式。然後才是牛頓和萊布尼茨。最後是100多年之後的法國數學家柯西（Louis Cauchy，1789年 －1857年）將微積分理論，包括“基本定理”嚴格化。

當然，發明微積分最早的先驅人物，不能漏掉法國兩位數學家：笛卡爾和費馬。

2，笛卡爾的葉形線

有人杜撰了一個笛卡爾與瑞典公主的有關“心形線”的愛情故事，

事實上，笛卡爾與心形線無關，倒有一個以笛卡爾命名的葉形線！

網上流傳的故事，說是笛卡爾為瑞典公主創造了心形線，但卻相愛無緣最後笛卡爾為情而死 ！從歷史事實而言，笛卡爾的死的確與瑞典女王克里斯蒂娜有關，不過與愛情無關。當年，24歲的瑞典女王仰慕53歲的大哲學家笛卡爾，於是通過外交手段，請求法國政府派笛卡爾前來瑞典講學。笛卡爾受命於政府不得不前往，但屆時的他已經年老體衰，去後又操勞過度，並且與公主關係也不融洽，到了瑞典4個月後，1650年2月，笛卡爾就終因沒有熬過瑞典的嚴寒得肺炎病逝了。

此外，心形線最早是由丹麥天文學家奧勒·羅默於1674在研究齒輪齒的最佳形式時發現的。那時候這位偉大的哲學家、數學家、物理學家與天文學家已去世20多年。與心形線拉不上關係。不過，笛卡爾發現研究過另外一種曲線，叫葉形線。下面我們看看心形線和葉形線這兩種平面曲線。

圖0：心形線（點擊到視頻）

心形線是有一個尖點的外擺線。也就是說，一個圓沿着另一個半徑相同的圓滾動時，圓上一點的軌跡就是心形線。著名的分形：曼德博集合中間的圖形是心形線。

再看看什麼是笛卡爾葉形線？它如下圖這個模樣。它可比心形線有名多了！還和笛卡爾一起被印上郵票。葉形線在直角坐標中對應於一個x和y的3次方程。

圖1：笛卡爾葉形線（點擊到視頻）

笛卡爾在1638 年首次提出並研究了葉形線。但儘管他在正象限中找到了正確的曲線形狀，但他認為這種葉子形狀在每個象限中都重複出現，就像花朵的四個花瓣一樣。之後的另一位數學家羅伯瓦爾也錯誤地認為曲線具有茉莉花的形式。

葉形線有名倒不是因為它的形狀，而是因為它涉及到微積分發展過程中一個有趣的故事。笛卡爾在1638 年研究了葉形線後，用這種他研究頗深的曲線向另一位數學家費馬提出挑戰。故事發生在微積分出現之前。其實也就正是在這兩位偉大的數學家苦苦構思坐標軸及解析幾何之時。

笛卡爾要求費馬在任意點找到該曲線的切線，因為據說費馬發現了一種尋找切線的方法。笛卡爾心存疑惑，認為費馬肯定做不到！但最後費馬很容易地解決了笛卡爾的問題，這是笛卡爾當時還無法做到的。

有了微積分之後，計算斜率再畫出切線不成問題。但沒有微積分時該如何做呢？微積分誕生的三個階段：極限和求積方法在古希臘及古中國都有，但第三步是牛頓和萊布尼茨在歐洲完成的。實際上，從第2階段到第3階段是一個漫長的過程，

那個時代正值工業革命文藝復興年代，不僅解放了思想，創造了自由的學術氛圍，其社會生產生活還對力學、天文學等自然科學提出了巨大的挑戰，而這些學科又與數學緊密相連，於是，一場關於數學學科的變革在悄然間降臨到了歐洲，其間許多數學家做出了貢獻。

當年費馬和笛卡爾等是如何畫切線的，這些方法與微積分的發現又有何關係？

3，業餘數學家之王費馬

法國數學家費馬（Fermat，Pierre de，1601-1665）是個很奇怪的學者，他是法院的法律顧問，算是個業餘數學家。費馬直到年近三十歲才認真研究數學，但成果纍纍，在數論、解析幾何、概率論等方面都作出了重大貢獻，因而被譽為“業餘數學家之王”。他的特點是不怎麼發表著作，經常是只在書的邊緣處寫下一些草率的註記，或者是偶然地將他的發現寫信告訴他的朋友。現在看來，即使是這種草率註記中的三言兩語，已經使世人震撼忙碌不已，要是費馬正兒八經地專門研究數學，那還了得？例如，被稱之為“費馬大定理”的猜想，就困惑了數學家們整整358年！

費馬對發現微積分的功勞也不小。他與笛卡爾共同創立了解析幾何，成為發明微積分的根基之一。他創造了作曲線切線的方法。費馬在1629年，在牛頓降生前13年，萊布尼茨降生前17年，就構想並使用了微分學的主要思想，用於求曲線的極大極小值。也就是說，在微積分尚未被系統地發明出來之時，費馬就已經掌握了“令導數為零，求出極點”的方法！這個事實說明，費馬幾乎已經自個兒發明出了微積分，只不過沒有公布而已！總之，費馬淡泊名利，不在乎發表文章，也未曾將他的微分思想總結成“定理”之類的，因此，費馬這方面的貢獻鮮為人知。費馬的許多數學思想，都是在他死後，由兒子通過整理他的筆記和批註挖掘出來的。

費馬研究光學時發現，光線總是按照時間最小的路線傳播。這個原理，是幾何光學的基礎，可以從後來的惠更斯原理推導出來。事實上，費馬原理現代版的更準確表述應該是：光線總是按照時間最小、或最大、或平穩點的路線傳播。換言之，光線傳播的經典路徑是變分為0的路徑。所以事實上，有關光線傳播的費馬原理應該算是變分法的最早例子，但在當時，人們尚未認識到這點，也沒有進行詳細的理論研究。費馬提出的光學 “費馬原理”，給後來變分法的研究以極大的啟示。

 笛卡爾的幾何學發表前，費馬1629年就發現了解析幾何基本原理。他考慮任意曲線和它上面點M的位置用A，E定出，（A，E）是傾斜坐標，只是他未將另一個豎直軸明顯畫出來。

實際上，費馬是延續了前古希臘數學家阿波羅尼奧斯的坐標系概念。阿波羅尼奧斯是除了阿基米德外最聰明的古希臘數學家，他深入研究了圓錐曲線，他的坐標體系將古希臘幾何直接一口氣帶到一千八百多年後的微積分之前。

然後，費馬將代數方法進一步與幾何應用結合，笛卡爾則建立了一般方程與曲線的關係，擴展曲線的範疇，最後建立解析幾何

費馬對微積分的貢獻，引用牛頓之言：“我從費馬切線作法中得到這個方法的啟示，我推廣了它”

下面看看費馬作切線的方法，如圖中需要作P點處的切線，只要求出線段AB的值，連接AP就是切線。

設AB= s，▲ABP與▲ACQ‘相似，在e很小時CQ=C Q‘，可求出AB

圖2：費馬切線作法（點擊到視頻）

費馬作切線方法的最後結果，與現在微積分求導數的公式相似。笛卡爾也有作切線的方法，比費馬晚幾年。他是先想辦法在A處作曲線的法線，再作與法線垂直的線便是切線了。他的方法更複雜更是幾何的。但兩位大師的方法都運用極限概念，也反映出對無窮小的認識，他們都不愧是微積分的先驅。

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