純數學的分支對從事應用數學研究的作用和影響

從魔術師到統計學家

P. Diaconis是一位著名統計學家，在這篇訪問記中，可以看出，一些被認為是純數學的分支對他研究統計學（或更廣泛地說對從事應用數學研究）的作用和影響，同時也可使讀者體會到如何與他人，特別是從事其他方向研究的專家，進行合作。這篇訪問記對我系的學生們有所啟發。 (程藝)

摘自《與大數學家一席談》 台灣凡異出版社，pp. 215-229，有刪節。

PERSI DIACONIS訪問記
Donald J. Albers

Persi Diaconis只有38歲，然而他已經是Stanford大學的統計教授了，這是他的第二個職業。由於他在統計方面的出色工作，最近他被提為MacArthur基金會研究員。由此，他將在1982--1987這五年中獲得192,O00美元，這些錢是免稅，無附加條件的。該獎金的目的是讓有創造性的人干他們感興趣的工作，而不受經濟條件的影響。

儘管他在數學方面成就不小，Diaconis堅持說他更擅長他的第一個職業--魔術。14歲的時候，他離開紐約的家，當了一個職業魔術師，週遊世界。十年奔波之後，他決定去讀大學。五年之後，他從Harvard得到了博士學位。

Diaconis把數學應用到各種各樣的實際問題中。他說：“我不能抽象地干數學，我需要有實際問題來思考”。他在魔術和統計方面的知識，使他能夠揭露一些巫師，包括Uri Geller。

Diaconis教授於1983年4月在Stanford大學他的辦公室里接受了採訪。他在採訪結束時說的一句話，表明了他對魔術的熱愛，“如果我能夠找到魔術教授的職位，如果魔術能像數學那樣被人們承認，我可能會全心全意地干魔術而不會問津數學和統計”。

統計是數的物理學

問：現在你的大部份時間是搞統計，你對統計學怎麽看？

答：統計學，從某種意義上講是數學的物理學。數似乎是以一種有條理的方式出現的，當我們觀察研究現實時，同樣的規律一次又一次地出現。更準確地說，統計是根據數據推斷其中所含的信息，是把概率論用於實際問題，並判定問題中的實際概率分布的一門數學。

問：你認為統計是數學的一部份咯？

答：是的，它是應用數學的一部份。作推斷時有一些東西是超出數學的。在數學中，你要做到正確，優美，而且只要這樣就行了。然而，在統計中，卻存在一個決定實際中什麽是正確的問題，這往往是以某種形式超出任何正規理論的。

我努力把我幾乎所有的工作都和現實問題聯繫起來。

計算機和新潮統計

問：計算機對統計學和統計的教學方式有很大影響嗎？

答：我認為計算機要改變數學也許是慢的，但在統計中，它卻處於變革的前沿。過去，統計中嚴格的，便於處理的數學假設和近似之所以存在和發展，是由於計算困難而且費用高。如今，計算又快又便宜，人們可以用實際的假定，到計算機上得到需要的答案。近來許多統計工作都旨在巧妙地利用計算機，當然，這就在新舊兩派統計學家中間產生了爭議。舊統計的衛道士們發展的理論離不開參數假定和使用正態曲線一類的東西，他們會說：“人們為什麽會需要這個時髦的東西，它究竟有什麽意義？”整個年輕的一代統計學家卻看到了計算機的魅力和在統計學中的作用。如果你到這兒的教學大樓里走一走，你就會聽到學生們談論計算一組數的中位數的新的快速算法，或者用於計算機作圖的新型硬件。而10年前，你只會聽到西格瑪代數這樣一些數理統計的東西。

如果我講的課里有些計算或者實際的內容，教室里就坐滿了人。如果我的課是關於把某種深奧的數學理論用於統計或概率論的話，能有六七個學生聽課就很不錯了。我在研究生的日常行動中能感覺到這種傾向。我們在斯坦福或伯克利的學生對新潮統計很有興趣。新潮統計是與大量的計算，大量的使用圖形構造和各種計算機圖示密切相關的，而這些在20年前是無法想像的。新潮統計正處於一場革命的中心，20年前的老派統計學家是不會認識到這個領域的。很清楚，現在我們的學生都把注意力放在計算機上。

計算機引導人們學習研究另一種數學----算法的數學，數值逼近的數學，模擬的數學。所有這些都和過去任何一門數學一樣困難，美妙。事實上，很多要比舊的數學領域更有挑戰性。

我需要有應用

問：你現在講一門挺高深的課，是關於統計中的群論方法，這聽起來不是怎麼實際的東西。

答：我講的課叫做“群表示論在統計中的應用”。講課的第一天，我列出了20個能用語言表達清楚的應用問題。例如，要把一摞兒牌洗幾次才能使其接近隨機？並說明群論是已知的解決這些問題的唯一途徑。出於解決實際問題的需要，我正在系統地研究群表示論，並將一個一個地處理上述問題。

問：結果，你覺得群論更加優美了。

答：正是這樣。它在我思想中又活躍起來了。這是我的一個有趣的特點，我不能抽象地與數學打交道，我需要一個實際問題來思考數學。但是有了一個實際問題以後，我會學習一切能用來解決它的數學知識。我已經正規地學過至少30門純數學課程，我盡得Ａ而且在學期末寫出像樣的文章，可這並不說明什麼，這一點都不困難，我就是這樣，我覺得有些人不會在用和問題中理解數學，不會實用地看待數學。我確實相信有一些這樣的人，對他們來說，圖表（diagram）和映射（morphism）就是一切。我可不是這樣，我得有應用。

現在我在研究一個很優美的問題，需要深入了解元素為p-adic的２X２矩陣的表示理論方面的知識。這個問題來自捕撈大馬哈魚，這是學習p-adic的好辦法。

發現實際問題的藝術

問：你是怎樣找到實際問題的？

答：這可能是我最擅長的了。一個人成為一個好的應用數學家的關鍵，是能夠發現有趣的實際問題與發現有趣的並且與某種優美的數學相關的實際問題之間把握好平衡。我的情況是，我瀏覽得相當多，參加講座，讀了很多數學，結果，我對數學相當廣闊的領域都有泛泛的了解。此外，我比較善於接近人，善於發現使他們頭痛的問題。有很多人：心理學家，生物學家，數學家，來找我，問我：“這個閒題你知道嗎？你以前聽說過嗎？”

問：為什麽生物學家也來和你談問題？

答：這是我努力的結果。我對應用問題確實感興趣。當我看到一個應用問題被優美的數學工具解決時，總感到非常高興。有的問題我解決不了，我也會把它交給其他能解決它的數學家或統計學家。如果你經常這樣干，人們會發現你是個非常有用的情報源。

這確實需要花大力氣。我願意同一些非常陌生的人交談，容忍各種各樣的事情，因為我可以不時地聽到一些很好的問題。為了解決它，我需要學一些新的數學。

我實際上已經開始比較系統地考慮人們是如何發現問題的，因為我在這方面很擅長。我正在思考我做過的事情並試圖把它系統化，這樣我可以向其他人解釋。現在還處於很模糊的階段，但是確實要不怕進入一個領域，泛泛地了解一下。知道一些對你的問題可能有用的工具，即使不很清楚，也很重要。如果你有足夠的數學基礎，你就可以仔細地閱讀；然後試着碰一碰你的問題。這包括讀一些綜合報告，同人們交談。我經常對數學家們說：“花20分鐘，告訴我你搞的是什麼？”此外，我擅長瀏覽，事實上，我是靠瀏覽得到的數學做工作的。

問：你說你擅長瀏覽是指什麼？

答：我看任何一本雜誌，總先看看目錄，我只是掃一下文章的題目。如果看上去有意思的話，就打開書花上一分鐘。瀏覽的時候就能判斷哪些東西有意思，是否花這一分鐘。我有過很好的運氣，發現了別人一般發現不了的東西。

我曾經和一位數學家一起幹過一個問題，其中需要某種表示理論的待征公式，但在任何標準的文獻中都找不到。我就去查Reviews in Group Theory，翻了一個鐘頭，找不到我們需要的公式。我不得不瀏覽，翻翻，看看，找出一些專業術語，試着推一些東西，這樣做着的時候，被引到了我以前從未看過的Frobenius的文章，果然，Frobenius對我們要的特徵，已經得出了精確的公式，但這些公式在現代文獻中是查不到的。知道如何使用文獻也是一門藝術。

有兩種研究工作者----一種查找，一種推導。我的一些合作者是非常優秀的數學家和統計學家，他們從來不看文獻，凡事都從基本原理做起。假如我們需要某種特殊的漸近展開式，我會說：“我們去查看看吧，”他們則說：“我們來自推一下吧，這樣會理解得更清楚些”。當然也要考慮一下應該花多少時間瀏覽。我們知道，那些一知半解的人，所有的時間都用來瀏覽，結果什麼事也沒幹。這種方法必須很好地權衡。無論怎麼說，我正在力圖建立關於瀏覽的理論，即怎樣在瀏覽中搜索理論，因為瀏覽就是尋找某種東西。

關於教學

問：你似乎很喜歡向別人講一些思想，這是不是說你喜歡教書？

答：我不敢肯定。我喜歡隨便地與別人交談。人們可以在黑板上，或午飯後用幾句話解釋問題的實質，這些在正式的講座或文章中是很難得到的。我很喜歡這些有見地的話。這給了我很多歡樂。實際上是我所干的許多事情的動力。教學和這有些不同，你必須更仔細。你不僅要設法講出實質的東西，還得講授一些技巧。我講課的時候，總是搞不清楚我應該幹什麼的。我教的大多是研究生，學生們來上課，是因為他們願意來。可是我教他們什麼呢？是給他們記一大堆筆記？是深入淺出地教他們一些基本的東西？是教他們如何做研究工作？還是使他們對所講的領域有個總體的認識？我覺得你不可能往一門課程里把所有這些都教給他們。這些是不同的工作，你不可能什麼都做，所以，我一直沒搞清楚教書是怎麼回事。

問：那麼你的教學方針是什麼？

答：亂七八糟！我不是一個差勁的老師，但可能也不怎麼樣。我喜歡把數學和統計的豐富知識灌輸給人們，所以對一個一般性定理我經常要講很多特例。我總設法使人們對一套理論的許多方面有所了解。

問：你早些時候講你是受應用興趣的激勵----你希望看到你干的數學應用於實際。然而你對數論有很大的興趣，你的學位論文就是寫的數論，大多數人都把數論當作非常不實用的東西，你怎麽把對數論的興趣和剛才的話和諧起來呢？

答：整數是非常實在的。有各種各樣的數論，現代奇妙深奧的伽羅華理論和模形式論與Erdos那種問題確實很不同，Erdos的問題你可以向你外祖母解釋清楚。數論就是美妙的，裡面都是數學。但是我的論文是關於解析數論的，討論的是一個很具體的問題，就是使人着迷的第一數現象。如果你看一下紐約時報的首頁，看看上面的所有數字，你認為其中有多少是以1開頭的？有些人認為是九分之一，經驗表明比這要多，事實上以1開頭的數字的比例相當穩定，就是0.301（如果你仔細看一看，這就是lg 2）。這是經驗給出的結果。令人驚奇。這種現象在各種各樣的實際數據中都會出現。如果你打開一本數表，把某頁上所有數字看一下，大約有30%的數是以1開頭的。為什廣會這樣呢？我有一個奇妙的解釋，其中需要用Zeta函數作一些計算。所以我就開始讀一些關於Zeta函數的書，然後把我的解釋講通，解釋得不錯。而在干的過程中我得學會某些東西，這種事在我的研究中似乎總是發生。Bott曾對我說研究工作就是用你的語言理解一部份數學。在我用我的語言理解這些工具時，一些定理就出來了，我學過經典的解析數論和複變函數，但我是為了解決問題學的，我總是這樣。經常有某個問題和某類工具，問題提出過好幾次，到頭來促使你去了解這類工具，而且對我來說直到這些工具得出了結果，事情才算完，這可能要用數年的時間。有一些問題我研究了30年。不得到正確的解答，我是不會撒手不干的。

念大學時，我有一個非常好的老師叫Onishi他很喜歡解析數論。我聽了他的一門課，他講得不錯，似乎覺得我很行，這對我也許有些影響。我在讀研究生的一年級時，我們合寫了一篇很有趣的文章。在哈佛與Fred Mosteller交談時，他說：“City College評語講你對數論有興趣，好，這裡有一個我總在考慮的問題。”他給我的問題是關於隨機取一個整數，其素困子的分布，有多少個不同的素因子能整除它。這是一個很好的問題，他做過很多數值計算尋找解決的線索。回到紐約，我就開始思考他的問題，後來Onishi也被我弄得有興趣了，他教了我一些東西，我們倆找到了一種解決方法。然後我們去找Fred，他還有其它一些問題，最後便形成了一篇三人合作的文章。這是我的第一篇論文，發表在Journal of Number Theory上。這是我還在念大學時的事情，這要歸功於一個能幹，友好的老師和一個長者，他提了一個相當好的問題，並且做了很多工作引出了這個問題。

問：除了Onishi和Mosteller，誰還對你有過重大影響？

答：和Martin Gardner一樣，Dai Vernon對我的影響也很大。在City College有一個很好的統計老師叫Leonard Cohen。當我告訴City College數學老師們我打算搞統計時，他們都認為我瘋了，說：“你能搞數學，幹嘛要去搞統計呢？”Cohen是唯一說過對統計有興趣是好事的人。他是個很好的老師，條理清楚。他不怕麻煩，給我開了一門閱讀課，在課間對單獨給我講解使我對這個學科有了一些認識。

另外一些對我有明顯影響的是我的合作者。我主要的合作者是Darid Freedman，他是Berkeley統計系主任。我們一道寫過25篇論文，我們的合作是富有成果的，並在不斷進行。Darid是第一流的概率論專家，他教給了我大量的現代概率論。Ron Graham和我合作了6篇文章，都來源於應用中的問題。現在，我們在下功夫研究有限Radon變換。

問：你覺得你的天性使你更傾向於合作而不是單幹嗎？

答：我合作過很多工作。最近我在考慮這事。因為當你跟某人建立了一種關係模式時，有一些問題你樂意與之交談。這樣每當來了一個新問題，就會有一種傾向把它裝入這種模式中。這使我苦惱，最近我單獨寫了一兩年文章，希望能更獨立地搞個方向。和一個大家合作有一大優點，很有趣，很刺激。我注意到數學中合作越來越多。數學家們喜歡互相討論，把你的得意之處講給別人和做新的數學一樣有趣。學東西，解難題，和別人在友好的氣氛中競賽，這是一個很好的方式。合作能使你超水平的工作。Ron Graham對此有個很好的解釋。他說你跟人合作時，合作雙方各自幹了75%的活，這大概是對的，如果不是這樣的話，合作就沒有什麼趣味了。

問：你認為數學家之間的合作不斷增加的主要原因是什麼？

答：我認為是由於要用的工具太多了。我跟Ron Graham合作時，我懂概率，他懂組合，而且我認為沒有人兩者都懂；跟David Freewan合作時，我有一些來自應用的統計問題，而他是一個超級解題能手。合作對我來說意味着愉快地交談,取長補短，確實是一大快樂。