z^4 + az^3 + bz^2 + cz + d = 0      (1)

設e^(iu) 是(1)的解，代入(1)得

cos(4u)+a cos(3u)+b cos(2u)+c cos(u) = -d

sin(4u)+a sin(3u)+b sin(2u)+c sin(u) = 0       (2)

(2)說明，e^(-iu)也是(1)的解。

設e^(iw) 是(1)的解，e^(-iw)也是(1)的解。

(z-cos(u)-i sin(u))(z-cos(u)+i sin(u))(z-cos(w)-i sin(w))(z-cos(w)+i sin(w)) = 0

(z^2-2z cos(u)+1)(z^2-2z cos(w)+1)=0

z^4+z^3(-2(cos(u)+cos(w))+z^2(2+4cos(u)costs))+

z(-2(cos(u)+cos(w))+1=0                                 (3)

(1)的解的集合(e^(iu),e^(-iu), e^(iw), e^(-iw))    (4)

不難看出，(4)也是解的倒數的集合。倒數之和

e^(iu) + e^(-iu) + e^(iw) + e^(-iw)) = 2(cos(u)+cos(w))

對比(1),(3),

e^(iu) + e^(-iu) + e^(iw) + e^(-iw)) = -a