水银桶转动的一个数学模型 - 修改版
一个桶里装有水银。桶按角速度w匀速转动。问水银表面的曲线（面）方程。
解：
桶按角速度w均匀转动，和桶壁接触的水银外层要以桶壁接近的速度转动。假设在稳态条件下，桶壁和水银外层几乎没有相对速度。把这个假定推广下去，就是任何质点的角速度都相等。把水银桶放在直角坐标系中。水桶中轴与Y轴重合。水桶底的圆心与原点重合。XY平面上水银面的高度用y(x)表示。
用Z=0的平面和Z=dz的平面把水银割成薄片。再用X=x的平面和X=x+dx的平面把薄片割成细条。其中，x, x+dx都小于水桶的半径。细条的体积是dxdzy(c)。其中c是x, x+dx之间的某点。细条的质量 dm = dxdzy(c)k。式中k是水银比重。dm受到的向心力是
f = dxdzy(c)kw^2c2
式中c2是细条的质心。细条左面受到的压力
f1= Integral(0,y)dzkghdh = dzkgy^2(x)/2。
细条右面受到的压力f2 = dzkgy^2(x+dx)/2。
由f2-f1=f。得到
dzkg(y^2(x+dx)-y^2(x))/2 = dxdzy(c)kw^2c2。
令x趋近于0，有c->x,c2->x,并化简后得
(g/2)dy^2/dx = yw^2x
dy/dx = w^2x/g
积分后得到 y = w^2x^2/(2g)+C