水銀桶轉動的一個數學模型 - 修改版
一個桶里裝有水銀。桶按角速度w勻速轉動。問水銀表面的曲線（面）方程。
解：
桶按角速度w均勻轉動，和桶壁接觸的水銀外層要以桶壁接近的速度轉動。假設在穩態條件下，桶壁和水銀外層幾乎沒有相對速度。把這個假定推廣下去，就是任何質點的角速度都相等。把水銀桶放在直角坐標系中。水桶中軸與Y軸重合。水桶底的圓心與原點重合。XY平面上水銀面的高度用y(x)表示。
用Z=0的平面和Z=dz的平面把水銀割成薄片。再用X=x的平面和X=x+dx的平面把薄片割成細條。其中，x, x+dx都小於水桶的半徑。細條的體積是dxdzy(c)。其中c是x, x+dx之間的某點。細條的質量 dm = dxdzy(c)k。式中k是水銀比重。dm受到的向心力是
f = dxdzy(c)kw^2c2
式中c2是細條的質心。細條左面受到的壓力
f1= Integral(0,y)dzkghdh = dzkgy^2(x)/2。
細條右面受到的壓力f2 = dzkgy^2(x+dx)/2。
由f2-f1=f。得到
dzkg(y^2(x+dx)-y^2(x))/2 = dxdzy(c)kw^2c2。
令x趨近於0，有c->x,c2->x,並化簡後得
(g/2)dy^2/dx = yw^2x
dy/dx = w^2x/g
積分後得到 y = w^2x^2/(2g)+C