討論一下兩種比重不同，不相溶解的液體放在勻速旋轉的桶里，每種液體的表面曲線（面）方程。 

首先要假定液體任何質點對桶軸的角速度都相等。角速度 = w。輕液體的密度 = k1，重液體的密度 = k2。重液體的表面曲線方程為y2。只有輕液體放到空桶里的表面曲線方程為y1。

根據已經解過的水銀桶問題，

 y1 = w^2x^2/(2g)+C                                                   (1)

把兩種液體放到桶里後，輕液體垂直厚度沒有變。先在討論y2。

把桶放在直角坐標系中。水桶中軸與Y軸重合。水桶底的圓心與原點重合。XY平面上重液體面的高度用y2(x)表示。
用Z=0的平面和Z=dz的平面把水銀割成薄片。再用X=x的平面和X=x+dx的平面把薄片割成細條。其中，x, x+dx都小於水桶的半徑。細條的體積是dxdzy2(c)。其中c是x, x+dx之間的某點。細條的質量 dm = dxdzy2(c)k2。dm受到的向心力是

f = dxdzy2(c)kw^2c2
式中c2是細條的質心。細條左面受到的壓力
f（x）= S(0,y2(x))[dz(k1gy1(x) + k2gh]dh = dz(k1gy1(x)y2(x) + k2gy2^2(x)/2)
細條右面受到的壓力f(x+dx) = dz(k1gy1(x+dx)y2(x+dx) + k2gy2^2(x+dx)/2)
由f(x+dx) - f(x) = f, 得到
dz(k1gy1(x+dx)y2(x+dx) + k2gy2^2(x+dx)/2) - dz(k1gy1(x)y2(x) + k2gy2^2(x)/2) = 
dxdzy2(c)kw^2c2
令x趨近於0，有c->x,c2->x,並化簡後得
k1((y1/y2)dy2/dx + dy1/dx) + k2dy2/dx = k2w^2 x/g        (2)
把(1) 代入 (2) 後，就是只有y2和x的微分方程. 這個微分方程不容易找到解析解。假設用數值方法解出y2，就是重液體的表面曲線方程. 而y2+y1 就是輕液體的表面曲線方程.