液體放在勻速旋轉的桶里，液體的表面曲線方程與桶底形狀的關係。
首先要假定液體任何質點對桶軸的角速度都相等。角速度 = w。液體的密度 = k。液體的表面曲線方程為y。
把桶放在直角坐標系中。水桶中軸與Y軸重合。水桶底的圓心與原點重合。又假設水桶的底是錐形的，斜率為n。用Z=0的平面和Z=dz的平面把水銀割成薄片。再用X=x的平面和X=x+dx的平面把薄片割成細條。其中，x, x+dx都小於水桶的半徑。在Z=0的平面，水桶底的表達式是
y1 (u) = n(u-x)                       (1)
細條的體積是
dxdz(y(c)-y1(c))                     (2)
其中c是x, x+dx之間的某點。細條的質量 dm = dxdz(y(c)-y1(c))k。
m受到的向心力是
f = dxdz(y(c)-y1(c))kw^2c2
式中c2是細條的質心。細條左面受到的壓力
f(x) = S(0,y(x))[dz k gh]dh = dz kgy^2(x)/2
細條右面受到的壓力
f(x+dx) = S(0, y(x+dx)-ndx)[dz k gh]dh + dz kg S(x, x+dx)[y(u)-n(u-x)]nd(u-x)
式中第二項是細條底部受到桶底的壓力在X方向上的分量。
f(x+dx) = dz kg (y(x+dx)-ndx)^2/2 + dzkg (y(c)ndx - n^2dx^2/2)
= dz kg (y^2(x+dx) + n^2dx^2 - 2y(x+dx)ndx)/2 + dzkg (y(c)ndx - n^2dx^2/2)
由f(x+dx) - f(x) = f 得到
[f(x+dx) - f(x)] /dx = dz(y(c)-y1(c))kw^2c2
[f(x+dx) - f(x)] /dx = dz kg [(y2(x+dx) - y^2(x))/(2dx) - y(x+dx)n + y(c)n]
g [(y2(x+dx) - y^2(x))/(2dx) - y(x+dx)n + y(c)n] = (y(c)-y1(c))w^2c2

令dx 趨近於0，有c->x,c2->x, y1(c)->0, 並化簡後得
g (y dy/dx ) =  yw^2x
微分方程的解是 y = w^2x^2/(2g)+C                           （3）
這個表達式說明，液面形狀與桶底形狀無關。
知道這個事實後，如果兩種比重不同，不相溶解的液體放在勻速旋轉的桶里，每種液體的表面曲線（面）方程都可以用（3）表達，只是其中的常數不同。