求所有正整數對(k,n)，使其滿足

k! = (2^n − 1)(2^n − 2)(2^n − 4)· · ·[2^n − 2^(n-1)]            (0)

很顯然，k=3, n=2 是一個解。k=1, n=1 是一個解。

對於n>2做如下分析。

把等號右邊2因子都提出來

2^(0+1+2+...+(n-1))[(2^n − 1)(2^(n-1)− 1)(2^(n-2) − 1)· · ·(2^1− 1)]=

2^(n(n-1)/2)[(2^n − 1)(2^(n-1)− 1)(2^(n-2) − 1)· · ·(2^1− 1)]          (1)

其中，[]中是n個奇數連乘。

假定，k取2^m,把等號左邊2因子都提出來。1到2^m中的所有偶數除2，得到商中的偶數再除2，...。得到等號左邊2因子個數是

2^m-1。為了等號兩邊2因子個數相等，我們有

2^m-1 = n(n-1)/2                              (2）

從(2)得出，當n增加的時候，2^n比2^m增加得快。從(2)解出

2^n =2^[(2^(m+1)-2+1/4)^(1/2) +1/2]                (3)

用數學分析中的big O,

2^n =O(2^(2^(m/2)))                             (4)

(3),(4)說明，當n>2時，2^n >>2^m,也大於2^(m+1)

所以，當n>2時，假定(0)成立，為了滿足(2)找到k, (2^m<k<2^(m+1)), 

2^n>k。(0)的右邊2^n個數連乘，從大於1開始，每個數的間隔都大於等於1，(0)的右邊當然大於左邊k!。這矛盾，所以當n>2時，(0)沒有解。

只有(k,n)=(3,2)，(1,1)這兩個解。